2 elevato l'unita immaginaria i
ciao
sono un appassionato di teoria dei numeri e studiando la funzione zeta del Riemann volevo capire come vengono valorizzati i valori nella sommatoria faccio un esempio prendendo un singolo termine
$1/2^(1+i)$
2 elevato un numero complesso come si fa? c'è qualche formula di trasformazione che mi permette di calcolarlo e poi come si rappresente la parte immaginaria?
se ho 2ì è facile e sull'asse immaginario y vale 2
ma 2^ì che significa e come si rappresenta sull'asse immaginario y ?
ciao Davide
sono un appassionato di teoria dei numeri e studiando la funzione zeta del Riemann volevo capire come vengono valorizzati i valori nella sommatoria faccio un esempio prendendo un singolo termine
$1/2^(1+i)$
2 elevato un numero complesso come si fa? c'è qualche formula di trasformazione che mi permette di calcolarlo e poi come si rappresente la parte immaginaria?
se ho 2ì è facile e sull'asse immaginario y vale 2
ma 2^ì che significa e come si rappresenta sull'asse immaginario y ?
ciao Davide
Risposte
Suppongo che tu sia alle prime armi, per questo ritengo necessario darti una panoramica generale sui numeri complessi.
I numeri complessi possono essere rappresentati in 3 modi:
-forma cartesiana
$$z=x+iy\ dove\ Re(z)=x,\ Im(z)=y$$
-forma trigonometrica
$$z=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))\ dove\ \rho=|z|\ e\ \arg(z)=\theta$$
Il legame con la forma cartesiana sta nel fatto che $\rho=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ e $\arg(z)={(\arctan(y/x)\ se\ Re(z)>0),(\arctan(y/x)+\pi\ se\ Re(z)<0):}$
-forma esponenziale
$$z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$$
Con $\rho$ e $\theta$ definiti come prima
Premesso questo proviamo a calcolare $2^i$:
$$2^i=e^{i\ln(2)}$$
$\rho=?$, $\theta=?$
I numeri complessi possono essere rappresentati in 3 modi:
-forma cartesiana
$$z=x+iy\ dove\ Re(z)=x,\ Im(z)=y$$
-forma trigonometrica
$$z=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))\ dove\ \rho=|z|\ e\ \arg(z)=\theta$$
Il legame con la forma cartesiana sta nel fatto che $\rho=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ e $\arg(z)={(\arctan(y/x)\ se\ Re(z)>0),(\arctan(y/x)+\pi\ se\ Re(z)<0):}$
-forma esponenziale
$$z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$$
Con $\rho$ e $\theta$ definiti come prima
Premesso questo proviamo a calcolare $2^i$:
$$2^i=e^{i\ln(2)}$$
$\rho=?$, $\theta=?$
grazie dan95
mi mancava proprio il logaritmo complesso per capire quel passaggio,adesso mi è chiara la cosa, le formule sui numeri complessi le avevo già viste però mi sfuggiva il legame con i logaritmi.
Mi presento lavoro nel settore dell'informatica, e nel tempo libero ho diversi interessi, astrologia, storia e matematica.
Della matematica sono sempre rimasto affascinato però se fai un lavoro che è tutt'altro con il tempo ti stacchi, a riaccendermi la voglia è stata la lettura di un bel libro l'enigma dei numeri primi, dove si parla del grande matematico Riemann ecco perchè sto cercando di comprendere la funzione zeta che è difficile e per questo mi sono messo a studiare un po di analisi complessa.
ciao Davide
mi mancava proprio il logaritmo complesso per capire quel passaggio,adesso mi è chiara la cosa, le formule sui numeri complessi le avevo già viste però mi sfuggiva il legame con i logaritmi.
Mi presento lavoro nel settore dell'informatica, e nel tempo libero ho diversi interessi, astrologia, storia e matematica.
Della matematica sono sempre rimasto affascinato però se fai un lavoro che è tutt'altro con il tempo ti stacchi, a riaccendermi la voglia è stata la lettura di un bel libro l'enigma dei numeri primi, dove si parla del grande matematico Riemann ecco perchè sto cercando di comprendere la funzione zeta che è difficile e per questo mi sono messo a studiare un po di analisi complessa.
ciao Davide
Prego 
Mi fa piacere conoscere un altro fan della Riemann Hypothesis. Ti consiglio di leggere la tesi di laurea di Zero87, dovrebbe trovarsi da qualche parte nel sito
Mi fa piacere conoscere un altro fan della Riemann Hypothesis. Ti consiglio di leggere la tesi di laurea di Zero87, dovrebbe trovarsi da qualche parte nel sito
OK dan95
cercherò quella tesi, grazie dell'aiuto
ciao Davide
cercherò quella tesi, grazie dell'aiuto
ciao Davide
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