[1,e] ha la potenza del continuo?

[WhiteC]

Ciao ragazzi, [1,e] ha la potenza del continuo? Come faccio a dimostrarlo?

[WhiteC]

p.s. io ho ragionato cosi:
Per ogni coppia di numeri reali a e b tali che a < b , l’applicazione f: x appartenente [0,1]-->((b-a) x+a) appartenente ad [a,b] è un'applicazione biunivoca di [0,1] su [a,b]. quindi ogni intervallo chiuso di R ha la stessa potenza di [0,1], che è proprio la potenza del continuo. è esatto per voi?

[axpgn]

Forse è più semplice se usi il logaritmo ... $ln(1)=0$ e $ln(e)=1$

[WhiteC]

"axpgn":Forse è più semplice se usi il logaritmo ... $ln(1)=0$ e $ln(e)=1$

potresti mostrarmi il tuo ragionamento?
il mio lo trovi sbagliato?

[axpgn]

$f: [1,e] -> [0,1]\ \ \ \ \ \ f(x): x |-> ln(x)$

[Kashaman]

"WhiteC":
potresti mostrarmi il tuo ragionamento?
il mio lo trovi sbagliato?

no è corretto. O meglio, ti bastava dire che poiché $[0,1]$ è bijettivo con $RR$, tramite la mappa logaritmo $x -> ln(x)$, ed $[0,1]$ con $[1,e]$ tramite la mappa $x -> (e-1)x+1$, se ne deduce che $[1,e]$ è bijettivo con $RR$.

L'osservazione che hai fatto, comunque, racchiude un fatto più generale, a meno che non dica castronerie:
1)$[a,b]$ ha sempre la potenza del continuo. Quindi..
2) $V \subset RR$ infinito ed è tale che $\exists a CardV=CardRR$
Il solo se non credo che valga in generale, al momento, non riesco a trovare un controesempio

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Kashaman":Il solo se non credo che valga in generale, al momento, non riesco a trovare un controesempio

L'insieme di Cantor (vedi qui).

[Kashaman]

"Martino":L'insieme di Cantor (vedi qui).

Grazie mille!