$120|n^5 -n$

[digi88]

Cercando gli n per cui $120|n^5 -n$ penso di aver capito di non aver capito qualcosa....Il procedimento (sbagliato forse completamente) che ho usato è il seguente:
Se 120 divide $n^5 -n$ devono dividerlo contemporaneamente 3, 5 e 8...

Quindi si avrà prima che:

$n^5 - n \equiv 0 (3)$ il che mi pare sia vero visto che mod(m) le potenze di un numero n sono periodiche rispetto a $\phi(m)$..(credo)..ma $\phi(3)=2$ che tolto due volte a 5 mi da $n - n \equiv 0 (3)$, verificato...

Per 5:
$n^5 - n \equiv 0 (5)$; $\phi(5)=4$ da cui $n - n \equiv 0 (5)$..verificato (?)

Per 8:
$n^5 - n \equiv 0 (8)$; $\phi(8)=4$ da cui $n - n \equiv 0 (8)$...sbagliato...infatti vale solo per n dispari...

Qualcuno è cosi gentile da dirmi cosa ho sbagliato????Grazie 10000000

[digi88]

Per caso l'errore e nell'aver ridotto con il teorema di Fermat-Eulero senza sapere se $n$ e $3,5,8$ sono coprimi????

[ficus2002]

"digi88":
Per 8:
$n^5 - n \equiv 0 (8)$; $\phi(8)=4$ da cui $n - n \equiv 0 (8)$...sbagliato...infatti vale solo per n dispari...

$n^5 - n \equiv 0 (8)$ vale se $n$ è dispari, ma vale anche se $n$ è multiplo di $8$. Più precisamente $n^5 - n \equiv 0 (8)$ se e solo se o $n$ è dispari o $n$ è multiplo di $8$.

[digi88]

posso chiederti perchè vale solo per $n$ dispari..? da come l'ho svolto (evidentemente sbagliando) vale per ogni n........

[ficus2002]

"digi88":posso chiederti perchè vale solo per $n$ dispari..? da come l'ho svolto (evidentemente sbagliando) vale per ogni n........

Osserva che $n^5-n=n(n^4-1)$ con $n$ ed $n^4-1$ coprimi. Così $8|n^5-n$ se e solo se $8|n$ o $8|n^4-1$. Per Eulero-Fermat hai che $8|n^4-1$ se e solo se $n$ è dispari. Così $8|n^5-n$ se e solo se o $n$ è dispari o $8|n$.

[digi88]

ah...penso di aver capito..deve essere dispari proprio affinchè m e 8 siano coprimi....grazie!!!!!!!!!