1 = 0?
un pò di tempo fa il mio prof. di analisi ha detto che, basandoci sugli assiomi sui numeri reali (ordinamento, operazioni con loro proprietà e completezza) non è possibile dimostrare che 1 (elemento neutro per il prodotto) debba essere diverso da 0 (elemento neutro per la somma), pertanto, che 1 sia diverso da 0 viene preso come assioma e si potrebbe benissimo costruire una matematica in cui tali elementi siano uguali, e solo che, lui dice, sarebbe poco interessante per le conseguenze..
carino, no?! che ne pensate?
saluti a tutti, ubermensch
carino, no?! che ne pensate?
saluti a tutti, ubermensch
Risposte
...che è strano...sembra un po' lo stesso discorso del perchè "-" per "-" fa "+"...
sicuramente poi conosci questa dimostrazione...
a=b *
ab=b
ab-a=b-a
a(b-a)=(b-a)(b+a)
a=b+a
a=a+a *
a=2a
1=2
sicuramente poi conosci questa dimostrazione...
a=b *
ab=b
ab-a
=b-aa(b-a)=(b-a)(b+a)
a=b+a
a=a+a *
a=2a
1=2
si la conosco, è una delle trappole in cui si può cascare dividendo per zero!
riguardo al - * - = +, questo si dimostra, non è un assioma; infatti si ha:
dimostriamo, innanzi tutto, due proprietà che ci serviranno:
1) -(-a) = a
-(-a) è l'opposto di -a
ma anche a è l'opposto di -a, ne consegue che, per l'unicità dell'opposto (anche questo è dimostrabile) -(-a) = a
2) (-a)b = -ab
verifichiamo che risulta (-a)b + ab = 0. dalla pr.distributiva, abbiamo [(-a) + a]b = 0*b = 0,
ora dimostriamo che (-a)(-b) = ab
dalla 2 abbiamo che (-a)(-b) = -[a*(-b)] = -[(-b)a] = sempre dalla 2
= -[-(ba)] = -[-(ab)] = dalla 1 = ab
supponiamo ora che a e b siano entrambi positivi, abiamo dimostrato che il prodotto di due negativi è positivo.
ciao, ubermensch
riguardo al - * - = +, questo si dimostra, non è un assioma; infatti si ha:
dimostriamo, innanzi tutto, due proprietà che ci serviranno:
1) -(-a) = a
-(-a) è l'opposto di -a
ma anche a è l'opposto di -a, ne consegue che, per l'unicità dell'opposto (anche questo è dimostrabile) -(-a) = a
2) (-a)b = -ab
verifichiamo che risulta (-a)b + ab = 0. dalla pr.distributiva, abbiamo [(-a) + a]b = 0*b = 0,
ora dimostriamo che (-a)(-b) = ab
dalla 2 abbiamo che (-a)(-b) = -[a*(-b)] = -[(-b)a] = sempre dalla 2
= -[-(ba)] = -[-(ab)] = dalla 1 = ab
supponiamo ora che a e b siano entrambi positivi, abiamo dimostrato che il prodotto di due negativi è positivo.
ciao, ubermensch
Guarda queste dimostrazioni:
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Quella che preferisco è la terza!
WonderP.
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Quella che preferisco è la terza!
WonderP.
belle.. in alcune è immediato capire dov'è l'errore, in altre non l'ho trovato: es: quella in cui 1 = alle radici di x che poi si eleva al quadrato.
nemmeno le ultime due ho ben capito...
ciao
nemmeno le ultime due ho ben capito...
ciao
L'equazione più assurda è questa:
4,999999..... = 5
Il problema è che questa è dimostrabile:-|
4,999999..... = 5
Il problema è che questa è dimostrabile:-|
verissimo: 5 = 45/9 = 4,9999...
però d'altra parte è lecitissimo porre 0,9999 = 1, 1,99999 = 2 .....
però d'altra parte è lecitissimo porre 0,9999 = 1, 1,99999 = 2 .....
E quindi 1,9999.....=1,999999.....+0,0000000....1
tutto ciò mi sgomenta
tutto ciò mi sgomenta
il bello della matematica è che dà le vertigini!
credo comunque che, standosene quell'uno all'infinito, allora in realà sommi 0... boh non so spiegarmi..
credo comunque che, standosene quell'uno all'infinito, allora in realà sommi 0... boh non so spiegarmi..
Mi pare di aver già detto che secondo me la matematica sta alla geometria come la materia sta allo spazio, spazio e geometria sono perfetti, materia e matematica sono solo buone approssimazioni
non so se sono d'accordo o meno: conosco troppa poca matematica per sbilanciarmi a dire che è perfetta, ma ne conosco allo stesso modo troppo poca per sbilanciarmi a dire che è una buona approssimazione.
" E quindi 1,9999.....=1,999999.....+0,0000000....1 "
Non ha senso dire + 0,0000000....1. Dovresti scrivere un numero infinito di zeri. Questo numero esiste ed è... 0.
Una dimostrazione più raffinata è la seguente:
Esiste un teorema che afferma che " Presi due numeri reali qualunque, esistono infiniti numeri reali compresi tra di loro".
In base a quello che dici 0,0000000....1 dovrebbe essere il primo numero reale dopo lo zero e ciò nega il teorema appena esposto.
La dimostrazione del teorema è in qualunque libro di analisi.
Ciao
Non ha senso dire + 0,0000000....1. Dovresti scrivere un numero infinito di zeri. Questo numero esiste ed è... 0.
Una dimostrazione più raffinata è la seguente:
Esiste un teorema che afferma che " Presi due numeri reali qualunque, esistono infiniti numeri reali compresi tra di loro".
In base a quello che dici 0,0000000....1 dovrebbe essere il primo numero reale dopo lo zero e ciò nega il teorema appena esposto.
La dimostrazione del teorema è in qualunque libro di analisi.
Ciao
citazione:
...Dovresti scrivere un numero infinito di zeri...
Il problema è proprio che non posso farlo, la matematica piace anche a me così come mi piace studiare la materia, ciò nonostante non posso considerarle perfette, non te laprendere coì a cuore:-) la matematica ha una storia che non può certo essere messa in un cantuccio da me o da chichessia
scusa cannigo, ma credo che la dimostrazione di pachito, molto elegante, mette una pietra sopra a questo discorso. che poi altri argomenti della matematica siano solo una approssimazione è un altro conto; comunque pensandoci bene, ritengo che la matematica sia perfetta e precisa e che le approssimazione derivino dalla nostra incapacità, dalla nostra limitatezza; ad esempio la funzione 1/(xlnx), per x>0 è continua e quindi integrabile, ma non esistono metodi elementari per integrarla; ed ecco che nasce l'approssimazione di Taylor e compagnia bella... nulla toglie che quell'integrale esiste.
ciao, ubermensch
ciao, ubermensch
citazione:
...In base a quello che dici 0,0000000....1 dovrebbe essere il primo numero reale dopo lo zero...
Se tu ammetti che
4,99999....=5
Ammetti che esistono due numeri reali che anno stesso valore, non so chi sta messo peggio:-)
Un'altra dimostrazione. Conosciamo tutti la cosiddetta serie geometrica:
q^n
con n che va da 0 a +inf.
Se |q|<1 allora la somma di quella serie vale 1/(1-q)
Notiamo ora che 0,99999999... può essere scritto:
9*[((1/10)^n) - 1]
La serie tra parentesi, per quanto detto sopra, fa 1/(1-1/10) = 10/9
Quindi, sostituendo:
9*[10/9-1] = 1
cioè 0,9999999...=1
ciao!
q^ncon n che va da 0 a +inf.
Se |q|<1 allora la somma di quella serie vale 1/(1-q)
Notiamo ora che 0,99999999... può essere scritto:
9*[(
(1/10)^n) - 1]La serie tra parentesi, per quanto detto sopra, fa 1/(1-1/10) = 10/9
Quindi, sostituendo:
9*[10/9-1] = 1
cioè 0,9999999...=1
ciao!
Grazie del supporto Goblyn
le spiegazioni delle "dimostrazioni" che 1=0 sono:
1) Dimostrazione Classica
Banalissimo: ad un certo punto si divide per zero, e non si può fare.
2) Dimostrazione Quadratica
Altrettanto banale, ma meno evidente rispetto alla precedente; il trucco sta nel barare sul segno della radice quadrata che viene estratta.
3) Dimostrazione Integrale
Non ci sono errori nei passaggi, ma ricordate che l'integrale indefinito definisce una funzione a meno di una costante.
4) Dimostrazione Radicale
Sull'origine dell'errore, ci sarebbe molto da studiare. Io e l'autore riteniamo che sia da considerare come un caso in cui il limite di una successione di punti sia una funzione discontinua. Criptico a sufficienza?
5) Dimostrazione Trigonometrica
Questa secondo me è in grado di fregare anche molti "esperti". Se si integra con una sostituzione, si deve aver cura che la funzione che lega la variabile sostituita e quella vecchia sia invertibile.
6) Dimostrazione Complessa
La "radice di meno uno" è una espressione ambigua nel campo complesso, nel senso che ha due soluzioni: +i e -i. Posto questo, uno sceglie la soluzione che gli pare e fa credere quello che vuole all'ignaro lettore.
7) Dimostrazione Esponenziale
Si tratta di un tipico fenomeno di "spaccio" di fumo: si spaccia per convergente una successione che non lo è, e questo permette di dire tutto e il contrario di tutto.
Per quanto riguarda 0,9999999 = 1 ricordo che il mio prof di analisi con un integrale del logaritmo di qualcosa (purtroppo non ricordo tutto) ci fece vedere i numeri "iper-reali", cioè ad esempio un numero minore di 1 ma maggiore di qualsiari numero minore di 1. Non è che qualcuno ne ha sentito parlare? Io purtroppo non riesco più a trovare la dimostrazione...
WonderP.
1) Dimostrazione Classica
Banalissimo: ad un certo punto si divide per zero, e non si può fare.
2) Dimostrazione Quadratica
Altrettanto banale, ma meno evidente rispetto alla precedente; il trucco sta nel barare sul segno della radice quadrata che viene estratta.
3) Dimostrazione Integrale
Non ci sono errori nei passaggi, ma ricordate che l'integrale indefinito definisce una funzione a meno di una costante.
4) Dimostrazione Radicale
Sull'origine dell'errore, ci sarebbe molto da studiare. Io e l'autore riteniamo che sia da considerare come un caso in cui il limite di una successione di punti sia una funzione discontinua. Criptico a sufficienza?
5) Dimostrazione Trigonometrica
Questa secondo me è in grado di fregare anche molti "esperti". Se si integra con una sostituzione, si deve aver cura che la funzione che lega la variabile sostituita e quella vecchia sia invertibile.
6) Dimostrazione Complessa
La "radice di meno uno" è una espressione ambigua nel campo complesso, nel senso che ha due soluzioni: +i e -i. Posto questo, uno sceglie la soluzione che gli pare e fa credere quello che vuole all'ignaro lettore.
7) Dimostrazione Esponenziale
Si tratta di un tipico fenomeno di "spaccio" di fumo: si spaccia per convergente una successione che non lo è, e questo permette di dire tutto e il contrario di tutto.
Per quanto riguarda 0,9999999 = 1 ricordo che il mio prof di analisi con un integrale del logaritmo di qualcosa (purtroppo non ricordo tutto) ci fece vedere i numeri "iper-reali", cioè ad esempio un numero minore di 1 ma maggiore di qualsiari numero minore di 1. Non è che qualcuno ne ha sentito parlare? Io purtroppo non riesco più a trovare la dimostrazione...
WonderP.
grazie wonderP per la spiegazione.
la faccenda che 0.999.... = 1, mi sta impicciando! proviamo a fare un ragionamento:
ammettiamo che 0,9999... sia diverso da 1, per l'assioma di completezza dovrebbe esistere P tale che 0,99999...
non so se è convincente come dimostrazione, ma è l'unica che mi viene in mente.
ciao
la faccenda che 0.999.... = 1, mi sta impicciando! proviamo a fare un ragionamento:
ammettiamo che 0,9999... sia diverso da 1, per l'assioma di completezza dovrebbe esistere P tale che 0,99999...
non so se è convincente come dimostrazione, ma è l'unica che mi viene in mente.
ciao
No, non è convincente perché il fatto che P non esiste devi dimostrarlo! Comunque in questo post ci sono già alcune dimostrazioni che 0.9999999....=1!
La motivazione che hanno dato a me per giustificare il fatto che 0.999999...=1 è questa:
se si considera la frazione 1/3 e la si moltiplica per 3, il risultato è: 1/3*3 = 3/3 = 1
D'altra parte, se prima si effettua la divisione, 1/3 = 0.333333...
Se ora moltiplichiamo per 3, il risultato è 0.999999...
Ragion per cui 0.99999... = 1
Ahimsa
se si considera la frazione 1/3 e la si moltiplica per 3, il risultato è: 1/3*3 = 3/3 = 1
D'altra parte, se prima si effettua la divisione, 1/3 = 0.333333...
Se ora moltiplichiamo per 3, il risultato è 0.999999...
Ragion per cui 0.99999... = 1
Ahimsa
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