Unico indizio 4 cifre.

[Raffa20001]

Determinare (ovviamente senza calcolatrice ) un numero intero $n<10000$ tale che $\sqrt {n}$ abbia come prime 4 cifre dopo la virgola, nell'ordine $1,2,3$ e $4$.

[axpgn]

Semi-Calcolatrice

Supponiamo che il nostro numero da trovare sia $sqrt(n)=x+0.1234$, di conseguenza avremo $n=(x+0.1234)^2=x^2+0.1234^2+2*0.1234x=x^2+0.015228+0.2468x$
Se tolgo da uno $0.015228$ ottengo $0.984772$ che diviso per $0.2468$ mi dà praticamente $4$, quindi la mia radice è probabilmente un multiplo di $4$.
Provando i primi multipli ($4, 8, 12, 16$), mi accorgo che vado "decrescendo", allora provo dall'altro "lato" ($100, 96, ...)$ è arrivato all'$84$, noto che la differenza all'intero è pari grosso modo a $0.2468$.
Perciò provo con $85$ ed ecco trovato: $n=7246$

Cordialmente, Alex

[Raffa20001]

"axpgn":

Se tolgo da uno $ 0.015228 $ ottengo $ 0.984772 $ che diviso per $ 0.2468 $ mi dà praticamente $ 4 $, quindi la mia radice è probabilmente un multiplo di $ 4 $.

Cordialmente, Alex

Tutto perfetto, ma puoi spiegare meglio questo passaggio? Come mai dividi per $0,2468$?

[axpgn]

Dunque, provo a spiegare i miei "pensieri" ...

Ho scritto $n=(x+0.1234)^2$ dove sia $n$ che $x$ devono essere interi.
Sviluppo $x^2+0.015228+0.2468x$
Dato che anche $x^2$ è intero, pure il resto deve esserlo; sottraggo $0.015228$ da un intero qualsiasi (poniamo $m$) e mi rimane $0.984772$ più $(m-1)$ da compensare con $0.2468x$
Ora per compensare quello $0.98...$ "utilizzando" $0.2468$ si vede anche a occhio che $x$ deve essere un multiplo di $4$, su numeri piccoli ovviamente (e d'altronde la radice è minore di cento) e per maggiore "precisione" (si fa per dire ), ho diviso per vedere quanto fosse realmente lontano da $4$.
In realtà poi è $x=85$, non è multiplo di quattro, ma il ragionamento filava e mi ha portato comunque lì.

Un po' contorto ma va bene, dai ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Detto in altro modo ...

$n$ è intero e minore di diecimila mentre $sqrt(n)$ no ed è minore di cento.
Ma posso sempre rappresentare la radice come $x+0.1234$ dove $x$ è intero.
Quindi $n=(x+0.1234)^2=x^2+0.015228+0.2468x$
Dato che anche $x^2$ è intero, a cui aggiungo $0.015228$, la parte decimale di $0.2468x$ deve essere $0.984772$ (ovviamente le parti decimali andrebbero estese infinitamente ma non crea problemi, in prima battuta, lasciar perdere il restante, eventualmente se ne terrà conto poi)
Da queste considerazioni ne consegue che ogni unità di $x$ aggiunge $0.2468$ e quindi si vede anche ad occhio che ogni $4$ unità si aggiunge una quantità molto vicina a compensare quella mancante.
Quindi i possibili candidati a rappresentare $x$ sono i multipli di $4$.
Partendo da $x=4$ ci si accorge comunque subito che il divario cresce al crescere di $x$ invece che diminuire, questo però fa pensare che, ad un certo punto, il calo sarà tale che basterà una unità in più per centrare il bersaglio.
E siccome le radici sono meno di cento e i multipli di quattro sono un quarto di questi, partendo da $100$ a ritroso, l'obiettivo si raggiunge facilmente

Cordialmente, Alex

[Raffa20001]

Bella soluzione, io avevo iniziato come te, poi avevo cercato di trovare il delta della $x$ intero in funzione di $n$, ma non credo sia la strada giusta perchè mi erano venuti valori diversi o forse ho sbagliato qualche conto