Un'equazione

[axpgn]

Trovare tutte le soluzioni in interi dell'equazione $n!+1=m^2$


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Non e' una risposta ma solo alcuni pensieri:

il primo e' $ 4! +1 = 5^2 $ e il secondo $5! +1 = 11^2$.
Funziona anche con $7!+1= 71^2$. Ce ne sono a volonta', sembra.

[axpgn]

Sembra?

$\ $ $\ $

[Quinzio]

"axpgn":Sembra?

$\ $ $\ $

Pero' va dimostrato.

[axpgn]

Appunto. Hai cliccato sull'emoticon (precedente)?

[Folpo13]

https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Brocard

In teoria dei numeri, il problema di Brocard chiede di trovare per quali interi n, l'espressione n! + 1 è un quadrato perfetto; si congettura che ciò avvenga solo per n uguale a 4, 5 o 7. In altre parole, non è noto se esistano altre soluzioni (n, m) dell'equazione

$n! + 1 = m^2$

E io che ci ho perso un pomeriggio...

[pandistelle007]

Ahaha, very nice question. I have never knew this problem, so I thank you a lot for having post it here.

[Quinzio]

Congetture:

Le uniche considerazioni che ho, con qualche vaga speranza di dare dei frutti, sono queste...
$n! + 1 = m^2$
ovvero
$n! = m^2 - 1 = (m+1)(m-1) $

Quindi da una parte abbiamo il fattoriale, dall'altra abbiamo il prodotto di due interi a distanza di 2.
Ossia
$4! = 6*4$
$5! = 12*10$
$7! = 72*70$

Ora vediamo come si ripartiscono i fattori del fattoriale nei due fattori a destra dell'uguale.
Ilpallino sopra indica che il fattore va nel fattore a destra piu' grande
Es:
$4! = \dot2\dot 3\4 = (2*3)(4)$
$2\dot 3\dot4 5$
$2\dot 3\dot4 5\dot6 7$

Sembra emergere un pattern, ma dico sembra perche' altri interi che soddisfano equazione non se ne trovano.
Il pattern e' che i fattori del fattoriale si alternano con un pallino sopra e senza pallino, ovvero alternativamente vanno nel fattore di destra $m+1$ e $m-1$.
E questo e' ragionevole, perche' si deve cercare di mantenere i fattori a destra sempre con differenza 2, quindi ha senso, quando si aggiungono altri 2 fattori, metterne uno nel primo fattore e uno nel secondo.
Cioe' se da questo fattoriale
$7! = 2\dot 3\dot4 5\dot6 7 = 72*70$
aggiungo altri due fattori (l'8 e il 9) e cerco di tenere i fattori a destra con differenza 2, ha senso che faccia $72*8$ e $70*9$.
Pero' ottengo $576*630$ e la differenza tra i fattori non e' 2, e' ben lontana.
E piu' si "procede", piu' si aggiungono fattori, piu' e' difficile arrivare a questa differenza di 2.
Probabilmente non e' piu' possibile, ma questa e' solo una congettura.

E una piccola critica...

Pero' il problema e' noto e arcinoto ( https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Brocard ), e ci sono solo delle congetture.
Non si sa se esistono altre soluzioni.
Se lo sapete che non si tratta di un problema qualunque, almeno mettere una nota che spiega che si tratta di un problema famoso e senza soluzione apparente.

[axpgn]

"Quinzio":Se lo sapete che non si tratta di un problema qualunque, almeno mettere una nota che spiega che si tratta di un problema famoso e senza soluzione apparente.

Beh, no, dai, "una tantum" ci sta
Anche perché il fatto che a me non siano note altre soluzioni, non significa che non ve ne siano, io non faccio assolutamente testo , non mi posso permettere di affermare né una cosa né l'altra, sarei presuntuoso (tra l'altro, non sapevo né che fosse famoso, né che fosse di Brocard)
E poi è tutto "training" (vedi Folpo13)

Comunque, bravi

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

@Alex

Strunz!
Anch'io ho dedicato un'oretta buona senza arrivare a nulla.
Ho proceduto come Quinzio ma io ho considerato anche la soluzione n=0 m=1. Perchè nessuno la vuole?

[hydro1]

@Bokonon: perchè non è una soluzione.

[Bokonon]

"hydro":@Bokonon: perchè non è una soluzione.

Ops intendevo n=m=0, la soluzione banale.

[axpgn]

Neppure!

[axpgn]

@Bokonon

"Bokonon":Strunz!
Anch'io ho dedicato un'oretta buona senza arrivare a nulla.

Io di più

Cordialmente, Alex