Una variante del triangolo di Tartaglia

[axpgn]

Nel triangolo di numeri in figura

ogni numero (tranne l'unico numero ($1$) che forma la prima riga in cima) è la somma di tre numeri della riga precedente e più precisamente quello che si trova esattamente sopra di esso e i due che stanno ai lati di quello.
Se un posto è vuoto lo si assume pari a zero.
Dimostrare che ogni riga, dalla terza in poi, contiene almeno un numero pari.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Si dimostra facilmente che nessuna riga può iniziare (o finire) con più di tre numeri dispari consecutivi.

Ciao

[giammaria2]

Il mio ragionamento è un po' diverso.

$p$=pari; $d$=dispari
Escludendo dalla considerazione gli 1 iniziali e finali, ogni riga dopo la seconda alterna numeri pari e dispari. Infatti questo è evidente per la terza riga e nelle altre si alternano i calcoli del tipo $p+d+p=d$ e $d+p+d=p$

[axpgn]

Un pochino più formali?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Nelle classi di resto modulo $ 2 $ i numeri dispari appartengono alla classe $ 1 $ e i pari alla classe $ 0 $.
Se una riga iniziasse con più di tre dispari inizierebbe con $ 1, 1, 1, 1, ... $ e le righe successive con $ 1, 0, 1, 1, ...$; $1, 1, 0, 0, ...$; $ 1, 0, 0, 1, ...$; $ 1, 1, 1, 1, ... $ ciclicamente. Si può anche procedere al contrario: una riga determina univocamente non solo quella successiva, ma anche quella precedente. La terza riga non inizia in uno dei quattro modi trovati e quindi ( discesa infinita) nessuna riga potrà iniziare con quattro dispari. Per la simmetria ogni riga conterrà almeno due numeri pari.

Ciao

[axpgn]

La mia è simile …

Prendiamo i primi quattro termini delle righe dalla terza alla settima e osserviamo che …

$3:\text(dpdp)$
$4:\text(ddpd)$
$5:\text(dppp)$
$6:\text(dddp)$
$7:\text(dpdp)$

La terza e la settima sono uguali e siccome i primi quattro termini di ogni riga dipendono esclusivamente dai primi quattro termini della riga precedente, questo ciclo di quattro (contenente almeno un pari) si ripete indefinitamente.

Cordialmente, Alex