Una relazione inaspettata

[Cantor99]

Di un triangolo si conosce il suo semiperimetro $p$ e, relativamente ad un suo lato $a$, l'altezza $h_a$ e l'angolo $\alpha$ che vi si oppone. Dimostrare che vale
$a=\frac{2p^2}{2p+h_a*\frac{cos(\alpha)+1}{sin(\alpha)}}$
(Spero sia chiaro il testo)

[dan952]

Siano $a,b,c$ i lati del triangolo. Poniamo $a=x+y$ dove $x=\sqrt{b^2-h^2}$ e $y=\sqrt{c^2-h^2}$, da cui
$$4p^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=2a^2+2h^2-2xy+2a(2p-a)+2bc$$
Ora per il teorema di Carnot
$$2bc=\frac{b^2+c^2-a^2}{\cos(\alpha)}=\frac{2h^2-2xy}{\cos(\alpha)}$$
dunque
\begin{equation}
4p^2=4ap+2h^2-2xy+\frac{2h^2-2xy}{\cos(\alpha)}
\end{equation}
Dal teorema di Carnot sappiamo che
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)$$
Sostituendo $a=x+y$, $b=\sqrt{x^2+h^2}$ e $c=\sqrt{y^2+h^2}$ si ricava un'equazione di secondo grado in $xy$, si risolve e si sostituisce la soluzione nella (1) e dovrebbe venire...

[Cantor99]

@dan95

Più semplicemente (di poco) ho combinato le seguenti equazioni
$4p^2=(a+b+c)^2$, $ah_a=bcsin(\alpha)$ e $a^2=b^2+c^2-2bc*cos(\alpha)$

[dan952]

Mi era sfuggito dalla memoria il teorema del seno...

[Cantor99]

grazie per aver risposto

[giammaria2]

Anch'io ho ragionato come Cantor99, ma penso che non sia male vedere i passaggi, senza limitarsi al generico "ho combinato le equazioni".

Parto da Carnot:

$a^2=b^2+c^2-2bc cos alpha=(b+c)^2-2bc(1+cos alpha)$

ed essendo $b+c=2p-a$ ottengo

$a^2=4p^2-4ap+a^2-2bc(1+cos alpha)->bc=(2p(p-a))/(1+cos alpha)$

Per l'area $S$ ho quindi

$S=1/2bcsin alpha=(p(p-a)sin alpha)/(1+cos alpha)$

Ricordando ora che $2S=ah_a$ si ottiene la formula data; io non lo faccio perché mi piace di più vederla cosi ed anzi modificarla in

$S=(p(p-a)*2sin frac alpha 2 cos frac alpha 2)/(2cos^2 frac alpha 2)=p(p-a)tan frac alpha 2$

[Cantor99]

Hai ragione Gianmaria, vedrai che ho letteralmente combinato queste equazioni

$4p^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=a^2+2ab+2ac+a^2+2bc*cos(\alpha)+2bc=a(a+b+c)+bc(1+cos(\alpha))$
Ho sostituito infine la seconda relazione
$4p^2=2pac+2ah_a\frac{1+cos(\alpha)}{sin(\alpha)$
Da cui si ottiene la tesi
$a=\frac{2p^2}{2p+h_a\frac{1+cos(\alpha)}{sin(\alpha)}}$

[Cantor99]

Vorrei far notare che in un triangolo rettangolo, se a è l'ipotenusa, si ha la snella formula
$a=\frac{2p^2}{2p+h_a}$
Ed è da questa che è nata questa bella discussione

[Erasmus_First]

"Cantor99":Di un triangolo si conosce il suo semiperimetro $p$ e, relativamente ad un suo lato $a$, l'altezza $h_a$ e l'angolo $\alpha$ che vi si oppone. Dimostrare che vale
$a=\frac{2p^2}{2p+h_a*\frac{cos(\alpha)+1}{sin(\alpha)}}$
(Spero sia chiaro il testo)

a) Al 1° membro dell'uguaglianza $b^2+c^2 -2bc·cos(α)= a^2$ [Carnot] aggiungo e tolgo $2bc$ ottenendo
$(b+c)^2 -2bc(cos(α) + 1) = a^2$ ⇔ $(2p-a)^2-a^2 -2bc(cos(α)+1)=0$ ⇔
⇔ $2p^2-2ap-bc(cos(α)+1)=0$.
b) Il doppio dell'area dà $a·h_a = bc·sin(α)$ ⇔ $bc = (ah_a)/sin(α)$.
c) Cin ciò la precedente uguaglianza diventa
$2p^2-2ap-ah_a(cos(α) +1)/sin(α)=0$, da cui, (esplicitando $a$)
$a=(2p^2)/(2p+h_a(cos(α) + 1)/sin(α)$ (C. D. D.)
_______

[Cantor99]

@Erasmus_First la tua mi piace anche più della mia (forse perché sembra meno meccanica)
Grazie per aver partecipato!