Una disuguaglianza interessante
Questo mi è stato proposto a voce un sacco di tempo fa, e ieri per qualche strano motivo mi è ritornato in mente.
Ma veniamo al dunque:
Siano $a,b,c,d,e,f$ numeri reali positivi tali che:
$a^2+b^2=c^2$
$d^2+e^2=f^2$
Dimostrare che $ad+be\le cf$
Vince chi trova la soluzione più bella!
Ma veniamo al dunque:
Siano $a,b,c,d,e,f$ numeri reali positivi tali che:
$a^2+b^2=c^2$
$d^2+e^2=f^2$
Dimostrare che $ad+be\le cf$
Vince chi trova la soluzione più bella!
Risposte
Metto in spoiler (visto che forse non è del tutto adatto alla sezione) un ben noto rilancio.
Benissimo, già due soluzioni diverse!
(anche se l'intenzione di Rigel era più che altro dare una generalizzazione, suppongo)
Ma ci sono ancora almeno un altro paio di modi per risolvere l'esercizio... vi invito a trovarli perché uno tra essi (a mio parere) è di gran lunga più bello e interessante rispetto ai due trovati.
(anche se l'intenzione di Rigel era più che altro dare una generalizzazione, suppongo)
Ma ci sono ancora almeno un altro paio di modi per risolvere l'esercizio... vi invito a trovarli perché uno tra essi (a mio parere) è di gran lunga più bello e interessante rispetto ai due trovati.
@Milizia.
Ti riferisci forse ad una verifica geometrica della proprietà?
Saluti dal web.
Ti riferisci forse ad una verifica geometrica della proprietà?
Saluti dal web.
Esattamente 
@Rigel
se vedete le formule tagliate provate a vedere qui sotto,forse ci son problemi con lo spoiler o non lo so.
[ot]dimostriamo quella disuguaglianza per induzione
passo base: quella cosa per n=2 che è facile da dimostrare (almeno penso,di solito il passo base è semplice,anche se non l'ho fatto)
passo induttivo: se vale per n ,allora vale per n+1
sappiamo che \(\displaystyle a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n \le \sqrt{a_1^2+a_2^2...+a_n^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2...b_n^2} \)
dobbiamo dimostrare che \(\displaystyle a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n+a_{n+1}b_{n+1} \le \sqrt{a_1^2+a_2^2...+a_n^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2...b_n^2}+a_{n+1}b_{n+1} \le \sqrt{a_1^2+a_2^2...+a_n^2+a_{n+1}^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2...b_n^2+b_{n+1}^2} \)
poniamo \(\displaystyle X= \sqrt{a_1^2+a_2^2...+a_n^2} \) e \(\displaystyle Y= \sqrt{b_1^2+b_2^2...b_n^2} \)
sostituendo otteniamo \(\displaystyle XY + a_{n+1}b_{n+1} \le \sqrt{X^2 + a_{n+1}^2} \cdot \sqrt{Y^2 + b_{n+1}^2} \)
vera per il basso base.
Funziona?[/ot]
comunque da questa dimostrazione discende quella del problema in questione facendo il prodotto nel sistema, sostituire e radicare finche non ci si trova nella forma canonica della disuguaglianza dimostrata qui sopra con n=2
se vedete le formule tagliate provate a vedere qui sotto,forse ci son problemi con lo spoiler o non lo so.
[ot]dimostriamo quella disuguaglianza per induzione
passo base: quella cosa per n=2 che è facile da dimostrare (almeno penso,di solito il passo base è semplice,anche se non l'ho fatto
)passo induttivo: se vale per n ,allora vale per n+1
sappiamo che \(\displaystyle a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n \le \sqrt{a_1^2+a_2^2...+a_n^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2...b_n^2} \)
dobbiamo dimostrare che \(\displaystyle a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n+a_{n+1}b_{n+1} \le \sqrt{a_1^2+a_2^2...+a_n^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2...b_n^2}+a_{n+1}b_{n+1} \le \sqrt{a_1^2+a_2^2...+a_n^2+a_{n+1}^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2...b_n^2+b_{n+1}^2} \)
poniamo \(\displaystyle X= \sqrt{a_1^2+a_2^2...+a_n^2} \) e \(\displaystyle Y= \sqrt{b_1^2+b_2^2...b_n^2} \)
sostituendo otteniamo \(\displaystyle XY + a_{n+1}b_{n+1} \le \sqrt{X^2 + a_{n+1}^2} \cdot \sqrt{Y^2 + b_{n+1}^2} \)
vera per il basso base.
Funziona?[/ot]
comunque da questa dimostrazione discende quella del problema in questione facendo il prodotto nel sistema, sostituire e radicare finche non ci si trova nella forma canonica della disuguaglianza dimostrata qui sopra con n=2
@wall98: vedo le formule tagliate (quindi non posso controllare i passaggi); l'idea della dimostrazione è comunque corretta
Invito gli studenti delle superiori che abbiano già preso confidenza con concetti e formule di base della Trigonometria a cercare quella che,forse,era la quarta via suggerita da Milizia;
serve "solo" riflettere sul fatto che la formula fondamentale della Trigononometria,come d'altronde il Teorema di Pitagora,è "invertibile"
(i.e. se la somma dei quadrati di due numeri è $1$ essi sono certamente,rispettivamente,
coseno e seno d'un medesimo opportuno angolo),
e conoscere la formula di sottrazione del coseno
(preferibile alle altre analoghe,in primis perché "primigenia" e poi in quanto,
nello specifico,toglie in partenza ogni dubbio sul segno degli enti che saranno coinvolti nel ragionamento..):
trovo che farlo potrà essere istruttivo,oltre a completare idealmente la rosa di approcci
(almeno quelli da me intravisti ad una sua prima lettura
),
tra loro equivalenti,a questo bel problemino proposto da Francesco.
Saluti dal web.
Edit.
Ora che ci penso questa strategia ha pure il vantaggio di consegnare,spiattellati in salsa greca(omaggio dovuto )su un piatto d'argento,
quali siano tutti e soli i casi nei quali vale il segno di uguale in quella relazione.
serve "solo" riflettere sul fatto che la formula fondamentale della Trigononometria,come d'altronde il Teorema di Pitagora,è "invertibile"
(i.e. se la somma dei quadrati di due numeri è $1$ essi sono certamente,rispettivamente,
coseno e seno d'un medesimo opportuno angolo),
e conoscere la formula di sottrazione del coseno
(preferibile alle altre analoghe,in primis perché "primigenia" e poi in quanto,
nello specifico,toglie in partenza ogni dubbio sul segno degli enti che saranno coinvolti nel ragionamento..):
trovo che farlo potrà essere istruttivo,oltre a completare idealmente la rosa di approcci
(almeno quelli da me intravisti ad una sua prima lettura
),tra loro equivalenti,a questo bel problemino proposto da Francesco.
Saluti dal web.
Edit.
Ora che ci penso questa strategia ha pure il vantaggio di consegnare,spiattellati in salsa greca(omaggio dovuto
)su un piatto d'argento,quali siano tutti e soli i casi nei quali vale il segno di uguale in quella relazione.
Rimango in tema e propongo una questione che ritengo impegnativa se non la si affronta dal lato giusto ( o se... non la si conosce già ! 
). Vengo al punto: siano $a,b,c$ numeri interi positivi. Dimostrare che è :
$ a^{a/{a+b+c}} cdot b^{b/{a+b+c}} cdot c^{c/{a+b+c}} >=(a+b+c)/3 $
Buona fortuna...
P.S. Per il quesito di Milizia l'idea di theras sulla trigonometria è sicuramente buona e se nessuno interviene in tempi ragionevoli mi lancio a svilupparla.
). Vengo al punto: siano $a,b,c$ numeri interi positivi. Dimostrare che è :$ a^{a/{a+b+c}} cdot b^{b/{a+b+c}} cdot c^{c/{a+b+c}} >=(a+b+c)/3 $
Buona fortuna...
P.S. Per il quesito di Milizia l'idea di theras sulla trigonometria è sicuramente buona e se nessuno interviene in tempi ragionevoli mi lancio a svilupparla.
Per me và benissimo,ma ho qualche piccola richiesta:
1)Stabilire una quantificazione comune a quel "tempo ragionevole":
propongo sia Domenica mattina,ovviamente se nessun altro interviene prima,
visto l'impegno alla Maturità di molti utenti potenzialmente interessati al quesito,
ma sono tutto occhi ed orecchie ad idee diverse,purché ben spiegate,in merito a quella data ultima.
2)Estenderei quell'estremo superiore,anzi massimo,ad un eventuale intervento sul tuo quesito.
3)Ammesso che per rispondere a quest'ultimo vada bene,
come non sono sicuro perché stò buttando lì la prima idea che m'è passata in mente leggendolo,
l'hint nascosto tra le righe di quanto ho scritto(e sopratutto le sottolineature ),
reputi sia il caso di completare esplicitamente quel suggerimento?
A presto,nel caso:
saluti dal web.
Edit:
Ed infatti,tanto per cambiare,riflettendoci in modo meno superficiale ho visto che era improduttiva quell'idea;
mi consola il fatto,e lo dico a ragion veduta,che la catena di disuguaglianze che avevo attenzionato era quella idonea:
era il suo lato rispetto al punto media(pardon..medio
)ad esser sbagliato !
1)Stabilire una quantificazione comune a quel "tempo ragionevole":
propongo sia Domenica mattina,ovviamente se nessun altro interviene prima,
visto l'impegno alla Maturità di molti utenti potenzialmente interessati al quesito,
ma sono tutto occhi ed orecchie ad idee diverse,purché ben spiegate,in merito a quella data ultima.
2)Estenderei quell'estremo superiore,anzi massimo,ad un eventuale intervento sul tuo quesito.
3)Ammesso che per rispondere a quest'ultimo vada bene,
come non sono sicuro perché stò buttando lì la prima idea che m'è passata in mente leggendolo,
l'hint nascosto tra le righe di quanto ho scritto(e sopratutto le sottolineature
),reputi sia il caso di completare esplicitamente quel suggerimento?
A presto,nel caso:
saluti dal web.
Edit:
Ed infatti,tanto per cambiare,riflettendoci in modo meno superficiale ho visto che era improduttiva quell'idea;
mi consola il fatto,e lo dico a ragion veduta,che la catena di disuguaglianze che avevo attenzionato era quella idonea:
era il suo lato rispetto al punto media(pardon..medio
)ad esser sbagliato !
Lancio un amo a mio parere alquanto ricco,per risolvere il quesito di CiroMario,
ma se nessuno entro domani l'avrà generalizzato vedrò di farlo appena possibile:
ricordato che,se $a_k>0$ $AA k in {1,..,n}$,si ha $n/(sum_(k=1)^n 1/(a_k)) le root(n)(prod_(k=1)^n a_k)$(1)
(in altre parole la media armonica d'un insieme di valori,positivi in questo contesto,non supera la loro media geometrica,
e se non lo ricordiamo possiamo sempre provarlo col buon sano procedimento d'induzione del Iº tipo ),
cosa permette di desumere la (1) se,ad esempio,$n=9$ e ${a_1,..,a_9}={4,4,4,4,2,2,3,3,3}$?
Saluti dal web.
ma se nessuno entro domani l'avrà generalizzato vedrò di farlo appena possibile:
ricordato che,se $a_k>0$ $AA k in {1,..,n}$,si ha $n/(sum_(k=1)^n 1/(a_k)) le root(n)(prod_(k=1)^n a_k)$(1)
(in altre parole la media armonica d'un insieme di valori,positivi in questo contesto,non supera la loro media geometrica,
e se non lo ricordiamo possiamo sempre provarlo col buon sano procedimento d'induzione del Iº tipo
),cosa permette di desumere la (1) se,ad esempio,$n=9$ e ${a_1,..,a_9}={4,4,4,4,2,2,3,3,3}$?
Saluti dal web.
ecco una mezza soluzione (manca da dimostrare la disuguaglianza media armonica-geometrica...
E bravo,wall,complimenti:
t'è bastato pochissimo per cogliere perfettamente lo spirito della verifica che avevo in mente
(e tra l'altro non sono neanche certo che il suggerimento t'era indispensabile,ed anzi la vedo probabile che c'eri già arrivato da solo )!
A questo punto meriti un premio(penso che Ciromario sia d'accordo) :
puoi rispondere,se già hai preso confidenza con la goniometria,
all'interpretazione trigonometrica della disuguaglianza dell'OP.
A presto:
saluti dal web.
t'è bastato pochissimo per cogliere perfettamente lo spirito della verifica che avevo in mente
(e tra l'altro non sono neanche certo che il suggerimento t'era indispensabile,ed anzi la vedo probabile che c'eri già arrivato da solo
)!A questo punto meriti un premio(penso che Ciromario sia d'accordo)
:puoi rispondere,se già hai preso confidenza con la goniometria,
all'interpretazione trigonometrica della disuguaglianza dell'OP.
A presto:
saluti dal web.
innanzitutto grazie,non avevo mai ricevuto tanti complimenti in un unico post
c'è voluto un po per le formule trigonometriche, pero,tornando al problema,possiamo immaginare a,b,c,d,e,f come lati di due triangoli rettangoli
e porre \(\displaystyle a=sin \beta \cdot c ,\ b=cos \beta \cdot c \) e \(\displaystyle d=sin \alpha \cdot f ,\ e=cos \alpha \cdot f \)
andando a sostituire si ottiene \(\displaystyle sin \beta \cdot c \cdot sin \alpha \cdot f + cos \beta \cdot c \cdot cos \alpha \cdot f \le cf\)
possiamo dividere per cf perche positivo ottenendo
\(\displaystyle sin \beta \cdot sin \alpha + cos \beta \cdot cos \alpha \le 1 \)
l'ultima formula è la formula per ricavare \(\displaystyle cos(\alpha - \beta) \) o viceversa (infatti il viceversa è il simmetrico con l'asse x, per una questione di modularita per 360)
sappiamo pero che il coseno di un qualsiasi angolo è sempre minore uguale di 1, da cui la tesi.
Da cio si ricava che l'uguaglianza si ha quando \(\displaystyle \alpha=\beta \) in modo da ricadere nella formula fondamentale della trigonometria,cioè quando i lati sono in diretta proporzionalita.
c'è voluto un po per le formule trigonometriche, pero,tornando al problema,possiamo immaginare a,b,c,d,e,f come lati di due triangoli rettangoli
e porre \(\displaystyle a=sin \beta \cdot c ,\ b=cos \beta \cdot c \) e \(\displaystyle d=sin \alpha \cdot f ,\ e=cos \alpha \cdot f \)
andando a sostituire si ottiene \(\displaystyle sin \beta \cdot c \cdot sin \alpha \cdot f + cos \beta \cdot c \cdot cos \alpha \cdot f \le cf\)
possiamo dividere per cf perche positivo ottenendo
\(\displaystyle sin \beta \cdot sin \alpha + cos \beta \cdot cos \alpha \le 1 \)
l'ultima formula è la formula per ricavare \(\displaystyle cos(\alpha - \beta) \) o viceversa (infatti il viceversa è il simmetrico con l'asse x, per una questione di modularita per 360)
sappiamo pero che il coseno di un qualsiasi angolo è sempre minore uguale di 1, da cui la tesi.
Da cio si ricava che l'uguaglianza si ha quando \(\displaystyle \alpha=\beta \) in modo da ricadere nella formula fondamentale della trigonometria,cioè quando i lati sono in diretta proporzionalita.
Per quello che possono valere aggiungo anche i miei complimenti... E così wall98 ha fatto il pieno ! 
molto bene,i complimenti stanno aumentando 
grazie!
grazie!
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