Una diseguaglianza notevole
Siano $a,b$ numeri reali positivi. Dimostrare che si ha:
$(a+b)^4<=2^3(a^4+b^4)$
P.S. Chi vuole può anche generalizzare la questione dimostrando che per $n$ intero positivo risulta :
$(a+b)^n<=2^{n-1}(a^n+b^n)$
$(a+b)^4<=2^3(a^4+b^4)$
P.S. Chi vuole può anche generalizzare la questione dimostrando che per $n$ intero positivo risulta :
$(a+b)^n<=2^{n-1}(a^n+b^n)$
Risposte
Ti accontenteresti del fatto che la media aritmetica è minore o uguale della media $n-esima$?
O preferisci le derivate?
O preferisci le derivate?
A dirla tutta puntavo su una dimostrazione diretta che non si appoggiasse ad una altra proprietà ma naturalmente puoi fare come più ritieni opportuno. Magari, se vuoi, per completare la tua soluzione potresti dimostrare la proprietà che hai riportato...
P.S. Niente derivate, per carità!
P.S. Niente derivate, per carità!
Allora riarrangiamento sui termini simili.
Vale che [tex]\binom{n}{k}a^kb^{n-k} + \binom{n}{k}a^{n-k}b^k \leq \binom{n}{k}a^n + \binom{n}{k}b^n[/tex]
(questo lo si prova facilmente, conviene moltiplicare la più grande con la più grande e la più piccola con la più piccola)
Se $n$ è dispari sommando con $k$ che va da $0$ a $(n-1)/2$ si ottiene proprio $(a+b)^n \leq 2^{n-1}(a^n+b^n)$.
Se $n$ è pari è uguale solo che con $k=n/2$ si divide per $2$ ottenendo lo stesso risultato.
Vale che [tex]\binom{n}{k}a^kb^{n-k} + \binom{n}{k}a^{n-k}b^k \leq \binom{n}{k}a^n + \binom{n}{k}b^n[/tex]
(questo lo si prova facilmente, conviene moltiplicare la più grande con la più grande e la più piccola con la più piccola)
Se $n$ è dispari sommando con $k$ che va da $0$ a $(n-1)/2$ si ottiene proprio $(a+b)^n \leq 2^{n-1}(a^n+b^n)$.
Se $n$ è pari è uguale solo che con $k=n/2$ si divide per $2$ ottenendo lo stesso risultato.
Anche con l'induzione viene bene in pochi passaggi.
Questa può andar bene?
$(a+b)^n<=2^(n-1)(a^n+b^n)$ $\ \ \ \ \ \ \ \ $ $(a+b)^n/2^n<=(a^n+b^n)/2$ $\ \ \ \ \ \ \ \ $ $((a+b)/2)^n<=(a^n+b^n)/2$
Definisco $\ \ m=(a+b)/2\ \ $, $a=m+d$ e $b=m-d$; perciò $m^n<=((m+d)^n+(m-d)^n)/2$.
Sviluppando il numeratore ottengo due sequenze di uguali valori, ma la prima avrà tutti i segni positivi mentre la seconda sarà a segni alterni, perciò i termini dispari raddoppiano mentre quelli di posto pari spariscono.
Dunque avremo $m^n<=(2m^n+ ...)/2$ dove i puntini rappresentano quantità positive.
Conclusione: $m^n<=m^n+...$.
Vi pare corretta?
$(a+b)^n<=2^(n-1)(a^n+b^n)$ $\ \ \ \ \ \ \ \ $ $(a+b)^n/2^n<=(a^n+b^n)/2$ $\ \ \ \ \ \ \ \ $ $((a+b)/2)^n<=(a^n+b^n)/2$
Definisco $\ \ m=(a+b)/2\ \ $, $a=m+d$ e $b=m-d$; perciò $m^n<=((m+d)^n+(m-d)^n)/2$.
Sviluppando il numeratore ottengo due sequenze di uguali valori, ma la prima avrà tutti i segni positivi mentre la seconda sarà a segni alterni, perciò i termini dispari raddoppiano mentre quelli di posto pari spariscono.
Dunque avremo $m^n<=(2m^n+ ...)/2$ dove i puntini rappresentano quantità positive.
Conclusione: $m^n<=m^n+...$.
Vi pare corretta?
Tutte soluzioni piuttosto interessanti, "ancorché " tutte diverse dalla mia !
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