Un verme paziente

[Sk_Anonymous]

Un verme è a un’estremità di una corda di gomma che può essere allungata indefinitamente. Inizialmente la corda è lunga un chilometro. Il verme striscia lungo la corda verso l'altra estremità a un tasso costante di un centimetro al secondo. Alla fine di ogni secondo la corda è istantaneamente tesa di un altro km. Così, dopo il primo secondo, il verme ha viaggiato un centimetro e la lunghezza della corda è diventata due chilometri. Dopo il secondo secondo, il verme ha strisciato un altro centimetro e la corda è diventata a tre chilometri lungo, e così via. L'allungamento è uniforme, come l'allungamento di un elastico. Solo la corda si allunga. Unità di lunghezza e di tempo rimangono costanti. Assumiamo un verme ideale, di dimensioni puntiformi, che non muore mai, e una corda ideale che può allungare indefinitamente. Puo’ il verme raggiungere la fine della corda?

[axpgn]

Vermi o formiche è la stessa cosa, no?

Formica

[Sk_Anonymous]

Sembra che per la formica si stia nel continuo mentre per il verme nel discreto.

Il problema me lo sono ritrovato in un documento word di molti anni fa ([size=85]sto ancora cercando nei miei archivi un mio lemma di cui il problema dei punti medi del quadrilatero completo è un semplice corollario. In effetti lo so ricostruire, ma mi interessa trovare la data[/size])

Le Scienze (ed. italiana) ha proposto il problema di Martin Gardner nel numero 87, Novembre 1975 e la soluzione e’ stata data nel numero successivo, 88 – Dicembre 1975.
Riporto le testuali parole di Martin Gardner a commento:
“Questo grazioso problema,che ha il sapore dei paradossi di Zenone, è opera di Denys Wilquin diNew Caledonia ed è stato pubblicato per la prima volta nel dicembre 1972 sul mensile francese Science et Vie, nella vivace rubrica di rompicapo curata da Pierre Berloquin.”

[Erasmus_First]

[Vediamo se stavolta non prendo una solenne cantonata come poco fa nel quiz $f:$ $ZZ → {1, 2, 3}$.]

Mi pare che non ci sia bisogno di pensare alla legge oraria.

Se la dilatazione [istantanea] è uniforme, la parte già percorsa si dilata in proporzione (allungandosi di un n-esimo quando l'eleastico si allunga da n km a n+1 km. Inizialmente il cm fatto dal verme è un centomillesimo della lunghezza dell'elastico. Ma quando l'estatico è lungo n km, il cm fatto dal verme è un n-esimo del centomillesimo della lunghezza totale.

Allora è come se l'elastico non si dilatasse ma il verme avanzasse di 1 cm al primo secondo, di mezzo cm nel secondo successivo ... di 1/n di cm nell'n-esimo secondo.

Siccome la serie armonica diverge, basta dargli tempo ed il verme supera qualsiasi distanza (lunga a piacere).

Quanto tempo ci mette a fare 1 km?
Siccome per n molto grande la serie armonica tende a coincidere con $ln(n) + γ$
– (dove $γ$ è la costante di Eulero-Mascheroni che vale 0,57721 56649....) –
e un km è centomila cm, il numero n di secondi è dato (con ottima approssimazione) dall'equazione
$ln(n) + γ = 10^5$ ⇔ $n = e^(10^5 - γ) ≈$ (circa) $1,57582776·10^43429$.

_______


P.S.
Ho editato per correggere un'altra grossa cantonata!
Avevo preso un milione (cioè $10^6$) il rapporto tra un km (= lunghezza iniziale dell'elastico) ed un cm (= avanzamento del verme ad ogni secondo) al posto di 100 mila (cioè $10^5$). E quindi avevo fatto i calcoli con l'equazione in n $ln(n) + γ = 10^6$ invece di $ln(n) + γ = 10^5$.
Sorry!

[Sk_Anonymous]

Bella!

[superpippone]

Solo una puntualizzazione: un Km non è un milione di centimetri, ma 100.000 cm.

[Sk_Anonymous]

Anche se molto più ordinaria delle soluzioni che ho visto girare, vi propongo anche questa mia.
Il significato dei simboli dovrebbe essere intuibile.

$v_1=0$ e $v_{n+1}=(v_n+1)\frac{n+1}n$
$e_n=n e_0$ ($e_0$ è il rapporto tra la velocità di allungamento dell’elastico e la velocità della rana)

$\frac {v_{n+1}}{n+1}=\frac{v_{n}}{n}+1/n$

Posto

$\frac {v_{n}}{n}=r_{n}$

si ha

$r_{n+1}=r_n+1/n$, che, risolta, dà $r_n=1+1/2+\cdots+\frac{1}{n-1}$

Cioè

$v_n=n(1+1/2+\cdots+\frac{1}{n-1})$

Il confronto deve quindi essere fra

$e_0 $ e $(1+1/2+\cdots+\frac{1}{n-1})$

Che vede, alla lunga, soccombere il primo.