Un vecchio problema pre-olimpico
Propongo un esercizio che trovo simpatico ed accessibile fin dai primi anni di secondaria; l'unica cosa che si studia in quarta è spiegata nella nota.
In una progressione aritmetica (*) di numeri interi c'è almeno un termine divisibile per 2 ed almeno uno divisibile per 3; dimostrare che ce n'è almeno uno divisibile per 6.
(*) Una progressione aritmetica è un insieme di infiniti numeri, ottenuti partendo da un numero prefissato ed aggiungendovi ripetutamente uno stesso numero, detto ragione. Ad esempio, una progressione aritmetica di ragione 5 può essere $7, 12, 17, 22, 27,32, ...$. I vari numeri sono detti termini e solitamente indicati con $a_i$: nel mio esempio $a_1=7, a_2=12, a_3=17, " eccetera"$
In una progressione aritmetica (*) di numeri interi c'è almeno un termine divisibile per 2 ed almeno uno divisibile per 3; dimostrare che ce n'è almeno uno divisibile per 6.
(*) Una progressione aritmetica è un insieme di infiniti numeri, ottenuti partendo da un numero prefissato ed aggiungendovi ripetutamente uno stesso numero, detto ragione. Ad esempio, una progressione aritmetica di ragione 5 può essere $7, 12, 17, 22, 27,32, ...$. I vari numeri sono detti termini e solitamente indicati con $a_i$: nel mio esempio $a_1=7, a_2=12, a_3=17, " eccetera"$
Risposte
Provo a postare un pezzo di dimostrazione.
Inizio con un caso particolare: quando la ragione è uguale al numero prefissato.
Se il numero prefissato è tre, ovvero si sa che nella progressione c'è un numero divisibile per $3$, si avrà:
$[(3+n)+n]+n...$ e così via, fino ad arrivare a $3+5n$. Se $3=n$ si può quindi raccogliere $n$ e si ha $n(1+5) -> 6n;$ tale numero è divisibile per sei e darà come quoziente $n$. Si può fare la stessa cosa con $n$ prefissato $=2$.
Ora tocca da dimostrare la stessa cosa ma con $n$ diverso dal numero prefissato.
Inizio con un caso particolare: quando la ragione è uguale al numero prefissato.
Se il numero prefissato è tre, ovvero si sa che nella progressione c'è un numero divisibile per $3$, si avrà:
$[(3+n)+n]+n...$ e così via, fino ad arrivare a $3+5n$. Se $3=n$ si può quindi raccogliere $n$ e si ha $n(1+5) -> 6n;$ tale numero è divisibile per sei e darà come quoziente $n$. Si può fare la stessa cosa con $n$ prefissato $=2$.
Ora tocca da dimostrare la stessa cosa ma con $n$ diverso dal numero prefissato.
Viva la buona volontà, insisti!
Per abitudine, la ragione viene indicata con $r$ e non con $n$; è meglio se ti adegui anche tu.
Per abitudine, la ragione viene indicata con $r$ e non con $n$; è meglio se ti adegui anche tu.
Ok, non ci avevo fatto caso...
Per il resto della dimostrazione: sarebbe una buona idea dimostrare che se nella progressione aritmetica c'è sicuramente un multiplo di tre e di due contemporaneamente, allora tale numero è anche multiplo di sei? Entrambe ipotesi e tesi andrebbero dimostrate... e in effetti un multiplo di tre e di due è sempre divisibile per sei, mi sembra più facile dimostrarlo rispetto alla prima affermazione.
In sostanza se analizziamo la tabellina del tre
$3+3+3+3+3+3+3...$
.. ..$6$.... ....$6$...... ...$6$
forma, a cifre alterne, la tebellina del $6$, e la tabellina del sei è sempre pari per il discorso pari più pari è uguale a pari (la dimostrazione la lascierei
)e quindi divisibile per $2$ .
In ogni caso si poteva tagliar corto dicendo solo che la somma di due numeri dispari è pari
$(n+1)+(n+3)=n+1+n+3=2n+4=2(n+2)$ che è pari.
Per il resto della dimostrazione: sarebbe una buona idea dimostrare che se nella progressione aritmetica c'è sicuramente un multiplo di tre e di due contemporaneamente, allora tale numero è anche multiplo di sei? Entrambe ipotesi e tesi andrebbero dimostrate... e in effetti un multiplo di tre e di due è sempre divisibile per sei, mi sembra più facile dimostrarlo rispetto alla prima affermazione.
In sostanza se analizziamo la tabellina del tre
$3+3+3+3+3+3+3...$
.. ..$6$.... ....$6$...... ...$6$
forma, a cifre alterne, la tebellina del $6$, e la tabellina del sei è sempre pari per il discorso pari più pari è uguale a pari (la dimostrazione la lascierei
)e quindi divisibile per $2$ .In ogni caso si poteva tagliar corto dicendo solo che la somma di due numeri dispari è pari
$(n+1)+(n+3)=n+1+n+3=2n+4=2(n+2)$ che è pari.
Però sei sempre in un caso particolare; per quanto ne sappiamo, potrebbe anche essere $a_17=63$ (divisibile per 3), la ragione può essere qualsiasi ed anche il termine pari potrebbe essere uno qualsiasi.
E' giusto dire che se un numero è multiplo sia di 2 che di 3, allora è multiplo di 6; in generale, se un numero è multiplo di due numeri $a,b$ allora è multiplo del loro m.c.m.
E' giusto dire che se un numero è multiplo sia di 2 che di 3, allora è multiplo di 6; in generale, se un numero è multiplo di due numeri $a,b$ allora è multiplo del loro m.c.m.
"giammaria":
se un numero è multiplo di due numeri $a,b$ allora è multiplo del loro m.c.m.
Sarebbe interessante dire agli studenti delle superiori di dimostrare questa affermazione.
Comunque, tornando più IT, oltre che non ho mai fatto le progressioni aritmetiche alle superiori - ma ho visto che sono cambiati i programmi, non ho fatto nemmeno l'induzione, ad es - la mia dimostrazione fa uso (elementare) dei moduli, per questo faccio finta di nulla e fischietto allegramente.
[size=85]Restando OT mi scuso con giammaria per la motivazione per cui ha chiuso l'altro thread - quello sul "numero che ho inventato" dell'utente Il Pitagorico -, ci siamo lasciati prendere la mano.[/size]
@Zero87. Bravo, fai bene a non introdurre argomenti universitari. Per te però può essere interessante ed utile chiederti come puoi tradurre il tuo ragionamento in termini da secondaria.
Ringrazio Gianmaria,
che m'ha dato l'occasione del bel ricordo della mia maestra delle elementari la quale,tra il secondo ed il terzo anno ,
m'ha introdotto le progressioni aritmetiche:
a quel tempo si parlava di numerazione in base $r$
(dove $r$ era,sebbene rigorosamente naturale,quella che lui chiama ragione..)!
Saluti dal web.
che m'ha dato l'occasione del bel ricordo della mia maestra delle elementari la quale,tra il secondo ed il terzo anno
,m'ha introdotto le progressioni aritmetiche:
a quel tempo si parlava di numerazione in base $r$
(dove $r$ era,sebbene rigorosamente naturale,quella che lui chiama ragione..)!
Saluti dal web.
parto da un numero $n$ e aggiungo ripetutamente $r$.
chiamando i termini $a_i$, si ha $a_0=n$,$a_1=n+r$,$a_i=n+i*r$,... sommandoli viene $\sum_{i=0}^{infty} n+i*r$. Se $n= 0 mod 3$ e $r= 0 mod 3$ vengono solamente multipli di 3 e, laddove se ne incontra uno pari, sarà multiplo di 6.
se $n= 0 mod 3$ si ha in successione: $n$,$n+r$,$n+2$,$n+3r$,$n+4r$,$n+5r$,$n+6r$... dove $n+3r$ e $n+6r$ sono multipli di 3 e uno dei due è anche pari (e multiplo di 6) a seconda che $r$ sia pari o dispari.
se $n!= 0 mod 3$ e $r!= 0 mod 3$ abbiamo un multiplo di 3 con: $1_3+1*2_3$ o $2_3+1*1_3$ o $1_3+2*1_3$ o $2_3+2*2_3$; in cui se il multiplo è il termine $a_j$, un pari sarà in $a_(2j)$
chiamando i termini $a_i$, si ha $a_0=n$,$a_1=n+r$,$a_i=n+i*r$,... sommandoli viene $\sum_{i=0}^{infty} n+i*r$. Se $n= 0 mod 3$ e $r= 0 mod 3$ vengono solamente multipli di 3 e, laddove se ne incontra uno pari, sarà multiplo di 6.
se $n= 0 mod 3$ si ha in successione: $n$,$n+r$,$n+2$,$n+3r$,$n+4r$,$n+5r$,$n+6r$... dove $n+3r$ e $n+6r$ sono multipli di 3 e uno dei due è anche pari (e multiplo di 6) a seconda che $r$ sia pari o dispari.
se $n!= 0 mod 3$ e $r!= 0 mod 3$ abbiamo un multiplo di 3 con: $1_3+1*2_3$ o $2_3+1*1_3$ o $1_3+2*1_3$ o $2_3+2*2_3$; in cui se il multiplo è il termine $a_j$, un pari sarà in $a_(2j)$
Chiedo a Giammaria se può mettere l'inizio della dimostrazione più "elementare"...
Per ora non voglio toglierti il divertimento e quindi lascio passare ancora un paio di giorni. Nel frattempo ti metto sulla giusta strada con:
1) un problema molto più semplice. Dimostrare che se in una progressione aritmetica di numeri interi c'è un termine divisibile per 6 ce ne sono anche infiniti altri divisibili per 6, qualunque sia la ragione;
2) un suggerimento pratico. Inventa un termine divisibile per 3 ed una ragione e scrivi i 4 o 5 termini successivi; ripeti più volte il tutto, cambiando la ragione e magari anche il numero iniziale. Guarda se le progressioni ottenute rispettano anche l'altra ipotesi e cerca di capire quando questo avviene o no (e magari anche perché). Nelle progressioni in cui l'altra ipotesi è soddisfatta cerca i termini divisibili per 6 e cerca di capirne la regola. Passa poi alle dimostrazioni.
1) un problema molto più semplice. Dimostrare che se in una progressione aritmetica di numeri interi c'è un termine divisibile per 6 ce ne sono anche infiniti altri divisibili per 6, qualunque sia la ragione;
2) un suggerimento pratico. Inventa un termine divisibile per 3 ed una ragione e scrivi i 4 o 5 termini successivi; ripeti più volte il tutto, cambiando la ragione e magari anche il numero iniziale. Guarda se le progressioni ottenute rispettano anche l'altra ipotesi e cerca di capire quando questo avviene o no (e magari anche perché). Nelle progressioni in cui l'altra ipotesi è soddisfatta cerca i termini divisibili per 6 e cerca di capirne la regola. Passa poi alle dimostrazioni.
"giammaria":
...guarda se le progressioni ottenute rispettano anche l'altra ipotesi...
In effetti il primo punto è semplice:
supponendo di avere un numero divisibile per $6$ ,$6q+r -> 6q$, si ha una ragione $r$ ripetutamente; se ho
$6q+6r$ ottengo $6(q+r)$ e tale numero è divisibile per sei e ciò può essere ripetuto infinitamente con lo stesso ragionamento.
Nel punto due ci sto ragionando. Non capisco però che cosa si intende con la prima ipotesi... quale?
L'altra ipotesi era che ci fosse un termine divisibile per 2.
La tua soluzione va bene, ma spero che tu non ti offenda se la riscrivo in forma matematicamente migliore, pur restando su un linguaggio semplice. Sia $a_i$ il termine divisibile per 6: avremo $a_i=6q$. Il termine che sta 6 posti oltre è
$a_(i+6)=a_i+6r=6q+6r=6(q+r)$
e tale numero è divisibile per 6 e ciò può essere ripetuto infinitamente con lo stesso ragionamento.
In futuro ti prego di rispettare il regolamento, che dice che nel quotare bisogna riportare solo quanto veramente utile e non l'intero messaggio.
La tua soluzione va bene, ma spero che tu non ti offenda se la riscrivo in forma matematicamente migliore, pur restando su un linguaggio semplice. Sia $a_i$ il termine divisibile per 6: avremo $a_i=6q$. Il termine che sta 6 posti oltre è
$a_(i+6)=a_i+6r=6q+6r=6(q+r)$
e tale numero è divisibile per 6 e ciò può essere ripetuto infinitamente con lo stesso ragionamento.
In futuro ti prego di rispettare il regolamento, che dice che nel quotare bisogna riportare solo quanto veramente utile e non l'intero messaggio.
Ho modificato il quote, non ci avevo fatto caso.
Figurati se mi offendo! E' che non sono abituato...
Esistono 4 possibili casi: numero prefissato (div. per tre) pari e ragione pari; numero prefissato (div. per tre) pari e ragione dispari; numero prefissato (div. per tre) dispari e ragione pari; numero prefissato (div. per tre) dispari e ragione dispari; è ovvio che ora sto prendendo in considerazione il numero iniziale, ma la stessa operazione si può ripetere anche se il numero fosse $-> a_134$...
ecco gli esempi:
- $12,14,16,18...$ $a ->$ sempre pari
- $12,15,18,21...$ $a ->$ alternati pari e dispari
- $9,11,13,15,17...$ $a ->$ sempre dispari $->$ opzione scartata
- $9,12,15,18,21...$ $a ->$ alternati pari e dispari
Il terzo caso lo possiamo scartare, in quanto se il numero divisibile per tre è dispari e la ragione pari, la successione di numeri sarà sempre dispari (dispari + pari è sempre dispari, la dimostrazione è abbastanza banale) e quindi non ci sarà mai un numero divisibile per due.
Nel primo caso la prima ipotesi si verifica sempre, in quanto pari + pari è sempre pari.
Nel secondo idem, perchè pari+dispari=dispari, + dispari =pari,+dispari=dispari...
Nel quarto stesso ragionamento del terzo ma partendo da un dispari.
Il primo caso credo sia facile da dimostrare.
Prendiamo un numero divisibile per tre pari$->$ per dimostrazione precedente, un numero divisibile per $6$.
Si avrà
$6q+6r=a_x$ quindi $a_x=6(q+r)$ e tale numero è divisibile per sei. E' scontato che nella progressione ci sia anche un numero divisibile per due (oltre a quello preso in considerazione), per il fatto pari più pari è pari o con il teorema che mi hai fatto dimostrare.
Ora che ci penso, questa dimostrazione dovrebbe valere anche per il secondo caso, in quanto $6r$ è sempre pari, indipendentemente da $r$ (che potrebbe essere dispari).
L'ultimo caso lo lascio per stasera... In ogni caso ho notato che c'è una regola precisa che dipende da $r$, a giudicare da queste due progressioni aritmetiche:
$9,12,15,18,21,24,27,30,33,36...$
$15,22,29,36,43,50,57,64,71,78,85,92$
Ma non vedo cosa ci sia in comune tra queste due. Se prendiamo, ad esempio, una progressione con numero prefissato $=3$, indico con il primo termine $r$, con il secondo ogni quanto si ripete il numero divisibile per $6$:
$1 ->6$
$3 ->2$
$5 ->6$
$7 ->6$
$9->10$
qui c'è una logica.
Figurati se mi offendo! E' che non sono abituato...
Esistono 4 possibili casi: numero prefissato (div. per tre) pari e ragione pari; numero prefissato (div. per tre) pari e ragione dispari; numero prefissato (div. per tre) dispari e ragione pari; numero prefissato (div. per tre) dispari e ragione dispari; è ovvio che ora sto prendendo in considerazione il numero iniziale, ma la stessa operazione si può ripetere anche se il numero fosse $-> a_134$...
ecco gli esempi:
- $12,14,16,18...$ $a ->$ sempre pari
- $12,15,18,21...$ $a ->$ alternati pari e dispari
- $9,11,13,15,17...$ $a ->$ sempre dispari $->$ opzione scartata
- $9,12,15,18,21...$ $a ->$ alternati pari e dispari
Il terzo caso lo possiamo scartare, in quanto se il numero divisibile per tre è dispari e la ragione pari, la successione di numeri sarà sempre dispari (dispari + pari è sempre dispari, la dimostrazione è abbastanza banale) e quindi non ci sarà mai un numero divisibile per due.
Nel primo caso la prima ipotesi si verifica sempre, in quanto pari + pari è sempre pari.
Nel secondo idem, perchè pari+dispari=dispari, + dispari =pari,+dispari=dispari...
Nel quarto stesso ragionamento del terzo ma partendo da un dispari.
Il primo caso credo sia facile da dimostrare.
Prendiamo un numero divisibile per tre pari$->$ per dimostrazione precedente, un numero divisibile per $6$.
Si avrà
$6q+6r=a_x$ quindi $a_x=6(q+r)$ e tale numero è divisibile per sei. E' scontato che nella progressione ci sia anche un numero divisibile per due (oltre a quello preso in considerazione), per il fatto pari più pari è pari o con il teorema che mi hai fatto dimostrare.
Ora che ci penso, questa dimostrazione dovrebbe valere anche per il secondo caso, in quanto $6r$ è sempre pari, indipendentemente da $r$ (che potrebbe essere dispari).
L'ultimo caso lo lascio per stasera...
In ogni caso ho notato che c'è una regola precisa che dipende da $r$, a giudicare da queste due progressioni aritmetiche:$9,12,15,18,21,24,27,30,33,36...$
$15,22,29,36,43,50,57,64,71,78,85,92$
Ma non vedo cosa ci sia in comune tra queste due. Se prendiamo, ad esempio, una progressione con numero prefissato $=3$, indico con il primo termine $r$, con il secondo ogni quanto si ripete il numero divisibile per $6$:
$1 ->6$
$3 ->2$
$5 ->6$
$7 ->6$
$9->10$
qui c'è una logica.
Bravissimo! Hai visto che se il numero divisibile per 3 è pari la tesi è verificata perché quel numero stesso è divisibile per 6; se invece è dispari, anche la ragione deve essere dispari.
Non mi è chiara l'ultima parte del tuo ragionamento, ma tu stesso dici che ci ripenserai stasera; probabilmente dopo saprai dirmi qualcosa di meglio. Sei sulla buona strada.
Non mi è chiara l'ultima parte del tuo ragionamento, ma tu stesso dici che ci ripenserai stasera; probabilmente dopo saprai dirmi qualcosa di meglio. Sei sulla buona strada.
Ho bisogno di un aiutino... come dicevo prima, in quest'ultimo caso non riesco a trovare una regola precisa per tutti i casi di questo tipo di progressione, e pertanto non so da dove cominciare...
Detto $a_i$ il termine divisibile per 3, restava da esaminare il caso di $a_i$ dispari ed avevi già notato che è dispari anche la ragione $r$. Basandoti su queste cose, dimostra che $a_(i+3)$ (cioè il termine che viene tre posti dopo) è divisibile per 6.
Indichiamo $a_1$ (il termine divisibile per tre) con $6q-3$ in quanto dev'essere dispari:
$(6q-3)+3 ->6q ->$ divisibile per sei.
Questa cosa dovrebbe funzionare per tutti i multipli di tre dispari
Fin qui è giusto?
Ma se io prendessi come ragione, ad esempio, $5$, le cose cambiano?!
$(6q-3)+3 ->6q ->$ divisibile per sei.
Questa cosa dovrebbe funzionare per tutti i multipli di tre dispari
Fin qui è giusto?
Ma se io prendessi come ragione, ad esempio, $5$, le cose cambiano?!
Proviamo con dei numeri: $a_i=21,r=5$. Per avere il termine 3 posti più in là, devo aggiungere 5 per 3 volte, quindi
$a_(i+3)=21+5*3=36$
che è divisibile per 6. Ora prova ad usare le lettere, dimostrando che vale sempre.
$a_(i+3)=21+5*3=36$
che è divisibile per 6. Ora prova ad usare le lettere, dimostrando che vale sempre.
Provo con questa dimostrazione, ma non so se può essere valida. Indico sempre $a_1$ con $6q-3$ e $r$ con $2q-1$, ovvero un numero dispari.
Si avrà $(6q-3)+3(2q-1) -> 6q+6q-6 -> 6(2q-1) ->$ divisibile per sei. Questa cosa si verifica anche se la ragione dispari fosse un'altra sullo stesso modello, ad esempio $4q-1$.
Aspetto altri giochetti simili in futuro...
Si avrà $(6q-3)+3(2q-1) -> 6q+6q-6 -> 6(2q-1) ->$ divisibile per sei. Questa cosa si verifica anche se la ragione dispari fosse un'altra sullo stesso modello, ad esempio $4q-1$.
Aspetto altri giochetti simili in futuro...
Giusto; lo si può migliorare con l'uso di due lettere diverse, cioè con $a_i=6q-3, r=2p-1$.
Potevi anche limitarti a dire che $a_(i+3)=a_i+3r$ è divisibile per 3 perché lo sono entrambi i suoi addendi ed è pari perché somma i due numeri dispari; essendo divisibile per 2 e per 3, lo è per 6.
Per gli altri giochetti vedrò di accontentarti; dammi un po' di tempo per trovarli.
Potevi anche limitarti a dire che $a_(i+3)=a_i+3r$ è divisibile per 3 perché lo sono entrambi i suoi addendi ed è pari perché somma i due numeri dispari; essendo divisibile per 2 e per 3, lo è per 6.
Per gli altri giochetti vedrò di accontentarti; dammi un po' di tempo per trovarli.
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