Un vecchio problema pre-olimpico

[giammaria2]

Propongo un esercizio che trovo simpatico ed accessibile fin dai primi anni di secondaria; l'unica cosa che si studia in quarta è spiegata nella nota.

In una progressione aritmetica (*) di numeri interi c'è almeno un termine divisibile per 2 ed almeno uno divisibile per 3; dimostrare che ce n'è almeno uno divisibile per 6.

(*) Una progressione aritmetica è un insieme di infiniti numeri, ottenuti partendo da un numero prefissato ed aggiungendovi ripetutamente uno stesso numero, detto ragione. Ad esempio, una progressione aritmetica di ragione 5 può essere $7, 12, 17, 22, 27,32, ...$. I vari numeri sono detti termini e solitamente indicati con $a_i$: nel mio esempio $a_1=7, a_2=12, a_3=17, " eccetera"$

[qasw1]

Posto la mia soluzione, senza aritmetica modulare:
Sia $r$ la ragione della progressione.
Se $a_p$ è il termine divisibile per 2, allora tutti i termini del tipo $a_(p+2n)$, con $n$ intero qualsiasi, saranno pari (questo perché $a_(p+2n)=a_p+2n\cdotr$, che è somma di due numeri pari).
Inoltre tutti i termini della successione sono del tipo $a_(p+2n)$ oppure del tipo $a_(p+2n+1)$.
Quindi il termine divisibile per 3, che chiamiamo $a_t$:
- o è del tipo $a_(p+2n)$, e in tal caso è anche pari e quindi divisibile per 6;
- o è del tipo $a_(p+2n+1)$, e in tal caso il termine $a_(t+3)=a_t+3r$, che è palesemente divisibile per 3, è del tipo $a_(p+2n)$ e quindi è pari; di conseguenza è anche divisibile per 6.

Si noti che nel primo caso saranno divisibili per 6 tutti i termini del tipo $a_(t+6n)$, e nel secondo caso saranno divisibili per 6 tutti i termini del tipo $a_(t+3+6n)$ ($n$ è sempre un intero qualsiasi, può essere anche negativo).