Un rapporto speciale

[Sk_Anonymous]

Il triangolo acutangolo ABC è inscritto nella circonferenza $gamma$ e la bisettrice dell'angolo $ hat(BAC)$ interseca:
il lato BC in D (vedi fig.), la circonferenza $gamma$ in K [ oltre che in A] ed in H la tangente t a $gamma$ condotta
nel vertice B.
Sapendo che $AK=3 cdot KH$, calcolare il rapporto ${AD}/{DC}$
N.B. Si preferisce la soluzione sintetica...

[matteo1113]

se consideriamo i triangoli $ ABH $ e $ BHK $ possiamo dire che sono simili poiché hanno $ BHK $ in comune e $ BAH $ congruente a $ HBK$ , possiamo quindi dire che $ AH:BH=BH:KH $ quindi $ BH = sqrt(4(kh)^2) = 2KH$ Inoltre possiamo dire che $ AH:BH=AB:BK $ quindi $ AB:BK=(4KH)/(2KH) =2 $
Consideriamo i trangoli $ ABK $ e $ ADC $ avranno $ BAK=DAC $ poiché $AD$ è bisettrice , e $ BKA= BCA $ perché sono angoli alla circonferenza insistenti sullo stesso arco. Quindi i triangoli sono simili e possiamo dire che $ AD:DC=AB:BK $ ma poiché $AB:BK=2$, $AD:DC=2 $

[Sk_Anonymous]

Ottima soluzione. Complimenti a Matteo !