Un milione

[axpgn]

Trovare tutte le sequenze di interi positivi consecutivi la cui somma fa un milione.



Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Detto $k$ il numero degli addendi ed $n$ il più piccolo fra essi, deve essere
$(k(2n+k-1))/2=10^6->k(2n+k-1)=2^7*5^6$
Quindi $k$ è un divisore del secondo membro e deve essere $k=2^a*5^b$, con $a,b$ interi e $0<=a<=7$; $0<=b<=6$. Sostituendo nell'equazione, dividendo per $k$ e spostando un termine ottengo
$2n-1=2^(7-a)*5^(6-b)-2^a*5^b$
Il primo membro è dispari, quindi deve esserlo anche un addendo del secondo e questo può avvenire solo se $a=0$ oppure $a=7$. Bisogna ora imporre che $n$ sia positivo e conviene distinguere in due casi, a seconda del valore di $a$.

I caso: $a=0$
L'equazione diventa
$2n-1=2^7*5^(6-b)-5^b$
Il secondo membro deve essere positivo, quindi
$2^7*5^(6-b)>5^b$

$2^7*5^6>5^(2b)$

$7 ln2+6 ln 5>2b ln 5$

$b<(7 ln2+6 ln 5)/(2 ln 5)=4,51$
E' discutibile l'accettabilità della soluzione $b=0$ perché dà $k=1$ e con un unico addendo di solito non si parla di somma; nessun problema invece quando $b$ vale 1, 2, 3, 4. La soluzione e sempre data da $k=5^b$; $n=1/2(2^7*5^(6-b)-5^b+1)$

II caso: $a=7$
L'equazione diventa
$2n-1=5^(6-b)-2^7*5^b$
Il secondo membro deve essere positivo, quindi
$5^(6-b)>2^7*5^b$

$5^6>2^7*5^(2b)$

$6 ln 5>7 ln 2+2b ln 5$

$b<(6ln5-7 ln 2)/(2 ln 5)=1,49$
I valori possibili di $b$ sono quindi 0, 1; si ha $k=2^7*5^b$; $n=1/2(5^(6-b)-2^7*5^b+1)$

Nota: se per qualche motivo non si può usare la calcolatrice scientifica, nel trovare la limitazione su $b$ si può notare che $2^7=128$ è circa uguale a $5^3=125$; il calcolo è ricondotto alle sole potenze di 5.

[axpgn]

Notevole!

Puoi aggiungerci pure un milione alle soluzioni

Peraltro si può tranquillamente fare a meno dei logaritmi con un percorso meno "elaborato"

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Grazie.

Ho trovato anche la soluzione che dici di aggiungere, ma l'ho dichiarata di accettabilità discutibile dicendo che con un solo addendo di solito non si parla di somma. E' solo una questione di gusti e/o di definizioni.

Quanto al fare a meno dei logaritmi, penso sia quello a cui accenno nella nota finale. Ad esempio, arrivati alla $2^7*5^(6-b)>5^b$, posso continuare dicendo che, poiché si ha circa $2^7=5^3$, la disequazione diventa
$5^3*5^(6-b)>5^b->" "5^(3+6-b)>5^b->" "9-b>b->" "b<9/2=4,5$

[axpgn]

No, è un'idea del tutto diversa mentre l'aggiunta anche di "un milione" diciamo che è utile per una "generalizzazione" se così posso dire

[giammaria2]

Mi incuriosisci: qual è l'idea del tutto diversa?
Ho anche trovato un'altra soluzione, poco elegante ma facile.

Dopo aver trovato i due valori di $a$, per ciascuno di essi diamo a $b$ i valori 0, 1, 2, ... e calcoliamo $2n-1$; poiché è evidente che al crescere di $b$ diminuisce $2n-1$, smettiamo appena si trova un valore negativo. I valori possibili di $b$ sono solo sette, quindi è certo che non occorrono troppi calcoli.

[axpgn]

Detto $n$ il numero dei termini della sequenza, abbiamo che $m=1000000/n$ è il valor medio di essi.
Se $n$ è dispari, $m$ è intero ma se $n$ è pari allora non lo è.
Ma ogni sequenza come questa ha la sua compagna di parità opposta!
Ovvero se $a+(a+1)+(a+2)+...+(a+n-1)=1000000$ è pure vera anche $-(a-1)-(a-2)+...+(a-2)+(a-1)+a+(a+1)+(a+2)+...+(a+n-1)=1000000$ ma questa altra ha una parità diversa da quella originaria
Quindi il numero delle sequenze che stiamo cercando è dato dal prodotto di numeri nella forma $e+1$ provenienti dai $p^e$ cioè i fattori primi dispari del numero dato, e questo vale per qualsiasi numero! (se è una potenza di due, l'unica "somma" è il numero stesso )
Nel caso nostro $1000000=2^6*5^6$ quindi $6+1=7$

Per esempio se $n=5^6=15625$ avremo $m=1000000/15625=64$ e gli estremi della sequenza "dispari" saranno $k=m-(n-1)/2=-7748$ e $h=m+(n-1)/2=7876$, buttiamo via i negativi e i loro compagni (ed anche lo zero ) ed ecco la nostra sequenza $(7749, 7750, ..., 7875, 7876)$

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Grazie mille. Ho avuto qualche difficoltà a capire, ma ora ho afferrato l'idea base: furbissima!
Però sta verificandosi una cosa strana: quando copio altrove il tuo messaggio, leggo che verso la fine della quinta riga hai scrittto correttamente "... $=1000000$ ma questa ...." ma qui nel forum leggo invece "... ma questa $=1000000$ ...", senza senso. Misteri dell'informatica.

[axpgn]

"giammaria":... Ho avuto qualche difficoltà a capire, ...

Mi spiace, effettivamente potevo essere più dettagliato ma c'è sempre questa voglia di essere sintetico e di fare in fretta

"giammaria":Però sta verificandosi una cosa strana: ...

Il motivo (non è la prima volta che mi capita) consiste nel fatto che talvolta (non mi è ancora del tutto chiara la causa) se l'espressione (con spazi) è molto (troppo?) lunga la manda a capo ma nello spazio finale che rimane libero ci infila il testo


Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Relativamente alla tua soluzione, ho notato una cosa che mi sembra abbastanza interessante e la posto.

L'idea di quella soluzione è considerare le successioni a coppie; ogni successione è associata a quella in cui sono stati aggiunti o tolti opportuni termini con centro lo zero.
Se $k,m$ sono il numero di termini e la loro media di una successione con $k$ dispari, i corrispondenti valori della successione associata sono $k_2=2m; " "m_2=k/2$.
Dimostrazione.
Il più piccolo numero della successione con $k$ dispari è $p=m-(k-1)/2$
Se $p$ è positivo, per avere l'associata debbo aggiungere i numeri da $-(p-1)$ a $p-1$ ed il loro numero è $2(p-1)+1=2p-1$; il numero di termini diventa quindi
$k_2=k+2p-1=k+2(m-(k-1)/2)-1=k+2m-k+1-1=2m$
Poiché deve essere $m_2k_2=mk$, ne consegue $m_2=k/2$
Se $p$ è negativo o nullo, pongo $p=-p_1$ per evitare la scomodità di ragionare con numeri negativi; questa volta devo togliere i numeri da $-p_1$ a $p_1$ e me ne restano
$k_2=k-(2p_1+1)=k+2p-1$
E' la stessa formula precedente, quindi con le stesse conclusioni.

EDIT
Mi accorgo in ritardo di aver messo una limitazione inutile.

$k,m$ possono riferirsi ad una successione qualsiasi, anche con $k$ pari. La dimostrazione non cambia: la formula $p=m-(k-1)/2$ diventa meno intuitiva, ma resta valida.

[axpgn]