Un limite… radicale

[dan952]

Calcolare

$$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} n^{1/k}$$

[Quinzio]

$$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} n^{1/k} = 1+ n^{-\frac{1}{2}}+ n^{-\frac{2}{3}}+ n^{-\frac{3}{4}}+ ... = 1$$

Tutti quei termini vanno a 0, ma non sono sicuro al 100%.

[dan952]

@Quinzio

Attento al segno all’ esponente

[giammaria2]

Mmm... Non credo che il risultato di Quinzio sia giusto. Posto $S_n=sum_(k=1)^n n^(1/k)$ ed arrotondando i risultati ottengo $S_1=1; S_2=1.71; S_3=2.06; S_4=2.25$ e queti numeri fanno pensare ad una successione crescente, forse con limite $e$. Ma non è certo una dimostrazione!

[dan952]

@Giammaria

Il risultato di quinzio non è corretto.

Il limite è …

2

[giammaria2]

Ne sei sicuro? Con la mia notazione ed aiutandomi con un foglio di calcolo, trovo $S_(10)=2.542$, che mi conferma nella mia ipotesi.

[moccidentale]

.

[dan952]

@giammaria

Calcola con valori grandi di $n$



@sellacollesella

Ok

[Quinzio]

Per capire il primo passaggio della dimostrazione di sellacollesella (che non e' banale):
https://it.wikipedia.org/wiki/Disuguagl ... geometrica

[giammaria2]

Effettivamente trovo $S_40=2,448

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