Uguaglianza inconsueta (ma facile da verificare)

[Erasmus_First]

Provare la seguente implicazione:
$0≤x<π/2 ⇒ arctan(sqrt(2tan(x))-1)-arctan(sqrt(2tan(x)) +1)+π/2 =x$,

––>Implicazione.png

_______

[sandroroma]

Per semplicità di scrittura pongo $\tan(x)=t$ ed indico con $u$ il primo membro della relazione.
Si ha quindi:
$\tan(u)=\tan[\arctan(\sqrt(2t)-1)+(\pi/2-\arctan(\sqrt{2t}+1))]$
Ovvero:
$\tan(u)=\frac{(\sqrt(2t)-1)+1/{\sqrt(2t)+1}}{1-(\sqrt(2t)-1)/(\sqrt(2t)+1)}=t=\tan(x)$
Da qui ( stante l'intervallo scelto) : $u=x$
C.V.D.

[orsoulx]

Se non ho sbagliato qualcosa è davvero molto facile

Indicando con $ \alpha $ e $ \beta $ i primi due addendi abbiamo:
$ tan \alpha=sqrt(2tanx)-1 ^^ tan beta=sqrt(2tanx)+1 $ e dalla formula di sottrazione per la tangente,
$ tan(alpha-beta)={-2}/(1+2tanx-1)=-1/tanx=tan(x-pi/2) -> alpha-beta=x-pi/2 -> $ [nell'intervallo assegnato]
$ alpha-beta+pi/2=x.$

Ciao

[Erasmus_First]

[ot]Scrivo ... editando.
Chiedo venia a sandroroma.
Solo dopo aver inviato ho visto che aveva proprio fatto quello che, prima di accorgermene, avevo scritto dettagliatamente ,
Ma ormai ... quod scripsi, scripsi.[/ot]

"orsoulx":Se non ho sbagliato qualcosa è davvero molto facile.

Ancora più facile se, dopo aver posto
$α=arctan(sqrt(2tan(x))-1)$ ,
invece di porre
$β=arctan(sqrt(2tan(x))+1)$
[e quindi andar a controllare che risulta $tan(α-β+π/2)=tan(x)$]
si pone
$β=π/2-arctan(sqrt(2tan(x))+1)$.
Allora infatti si ha
$tan(β)=1/(sqrt(2tan(x))+1)$
e quindi la tangente del primo membro viene
$tan(α+β) = (tan(α)+tan(β))/(1-tan(α)·tan(β)) = ((sqrt(2tan(x))-1)·(sqrt(2tan(x))+1)+1)/((sqrt(2tan(x))+1)-(sqrt(2tan(x))-1))=$
$=(2tan(x))/2 = tan(x)$.

L'uguaglianza che qui si chiede di verificare è già stata usata da me in quest'altro precedente messaggio:
––> Re: Integrale ... # 7.
[Però con entrambi i membri divisi per 2].
Là, la verifica dell'uguaglianza era stata fatta verificando che
• entrambi i membri erano nulli in $x=0$;
• per $0≤x<π/2$ la derivata di entrambi i membri era 1/2.

In un primo tempo, nella (trovata) primitiva $F(x)$ nulla in $x=0$ di $f(x) = sqrt(tan(x))/(i + sqrt(tan(x))$ c'erano, tra l'altro, gli addeendi
$1/2[arctan(sqrt(2tan(x))-1)-arctan(sqrt(2tan(x))+1)]+π/4$.

Mi sono allora chiesto se questa ..."fetta angolare" di $F(x)$ non fosse semplificabile. Perciò sono andato a vederne l'andamento facendone il grafico cartesìano [con l'applicazione "Grapher"] scoprendo così – "sperimentalmente" e con grande merasviglia – che la somma di quegli addendi valeva $x/2$.
Il metodo là usato per verificare che due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ apparentemente diverse sono in realtà uguali – consistente nel verificare che è
$f(0)=g(0) ∧ df/dx =dg/dx)$
– è concettualmente elegante; ma poco sbrigativo nel presente caso (perché è abbastanza complicato fare la derivata dell'espressione del 1° membro).
Una volta scoperto che la verifica era invece quasi immediata usando la formula di somma (o differenza) della tangente .... mi è venuta voglia di mettere la mia scoperta (dell'acqua calda!) come quiz.
Ciao orsoulx.
Ciao a tutti.

_______

[orsoulx]

"Erasmus_First":Ancora più facile se...

Su quali differenze poggia quest'asserzione?
Ciao

[Erasmus_First]

"orsoulx":[quote="Erasmus_First"]Ancora più facile se...

Su quali differenze poggia quest'asserzione?[/quote]Sta scritto nel precedente 'post'. Lo debbo ripetere? OK, lo ripeto!
Invece di controllare la tangente della somma di tre addendi (di cui uno è π/2), si controlla – come già aveva fatto sandroroma ... ma io non me n'ero ancora accorto – la tangente della somma di due addendi soltanto, approfittando del fatto che
$tan(π/2 - φ) = 1/tan(φ)$.
Ciao ciao.

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[orsoulx]

"Erasmus_First":Sta scritto nel precedente 'post'. Lo debbo ripetere? OK, lo ripeto!

Mi sfugge il motivo del tono un po' piccato e continuo a non capire dove stia la maggior semplicità.
L'espressione da controllare è la somma di tre angoli e la ragione 'profonda' della semplicità del risultato è evidentemente legata al fatto che gli argomenti delle due arcotangenti hanno $ +-2 $ come differenza e $ 2tanx-1 $ come prodotto, che sommato ad $1$ si riduce, banalmente, a $ tanx $.
Fino a prova contraria la proprietà associativa assicura che $ (a+b)+c = a+(b+c) $.
Le proprietà degli angoli associati sono state usate da entrambi: tu prima, io dopo la 'somma degli angoli 'complicati'.
Tu hai scelto la seconda versione e io la prima, perché era ovvia la semplificazione che ne derivava; non vedo differenze se non neil'algebretta dei calcoli.
Tu ti sei ritrovato con una frazione a quattro 'piani', io a sommare $ (x-pi/2)+pi/2=x $.
Libero di ritenere più semplice il tuo percorso, ma, a mio avviso, è un'opinione priva di supporto oggettivo.
Ciao