Troppo facile!

[massimoaa]

Un punto M descrive una semicirconferenza di diametro AB. Determinare il luogo geometrico descritto dal punto P
d'incontro di MB con la perpendicolare abbassata da A sulla bisettrice dell'angolo $\hat{AMB}$.

[orsoulx]

Detto N il punto medio della semicirconferenza data ed N' il simmetrico di questo rispetto al centro della medesima (punto centro del fascio formato dalle bisettrici considerate); il luogo risultante è la semicirconferenza di centro N', estremo in A e passante per B.

Ciao
[ot]Il tuo ultimo commento alla discussione "Un esercizietto" mi pare decisamente fuori luogo e privo di qualsiasi valenza matematica. Fra l'altro la soluzione della generalizzazione proposta è tutt'altro che banale: non ritieni opportuno eliminarlo?[/ot]

[curie88]

Non mi pare difficile, se ho ben capito:

Detto $r$ il raggio $OB$, e $t=MB$, l-arco, le coordinate parametriche che descrivono il luogo sono:
$x=r*cos(t/2)*cos(t/2)$
$y=r*cos(t/2)*sin(t/2)$
Saluti.

[Erasmus_First]

"massimoaa":Un punto M descrive una semicirconferenza di diametro AB. Determinare il luogo geometrico descritto dal punto P d'incontro di MB con la perpendicolare abbassata da A sulla bisettrice dell'angolo $\hat{AMB}$.

Senza geometria analirtica ...
Sia $C$ il centro della circonferenza di diametro $\bar{AB}$.
Siccome l'angolo $\hat{AMB}$ alla data semi-circonverenza di diametro $\bar{AB}$ è costantemente retto, l'angolo $\hat{AMP}$ resta mezzo angolo retto mentre il suo vertice $M$ cammina sulla detta semicirconferenza. Sia $N$ l'altra l'intersezione di $MP$ con la circonferenza di diametro $\bar{AB}$. Siccome mentre $M$ cammina sulla semicirconferenza di diametro $bar{AB} l'angolo $\hat{ACN}$ resta retto (perché doppio di $\hat{AMP}$ che è mezzo angolo retto), il punto $N$ è un punto fisso (come A e B) sulla circonferenza di diametro $\bar{AB}$; e siccome C è il punto medio di $\bar{AB}$ si ha l'uguaglianza
$\bar{AB}$ = $sqrt2\bar{AN}$.
Infine, siccome mentre M cammina sulla semicirconferenza di diametro $\bar{AB}$ l'angolo $\hat{APN}$ rimane retto (perché $AP$ è perpendicolare a $MP$), il punto $P$ si muove sulla semicirconferenza di diametro $\bar{AN}$ che contiene il centro $C$ della circonferenza di diametro $\bar{AB}$.

P.S. (Editando)
Ho eliminato alcune parole (in fila) ... "spurie" (che rendevano ioncomprensibile un periodo centrale del mio discorsetto).
Chiedo scusa.
Oltre a vederci sempre meno, ho il computer che ogni tanto ... mi fa i dispetti!
[Per esempio: a volte, oltre a rifiutarsi – non sempre, a volte! – di scrivere i 5 caratteri in fila "T, Y, U, I, O" [ma più spesso la sola "O"], mi cambia da solo il posto dove sto scrivendo, col risultato che poi quando rileggo mi trovo un testo pasticciato, che non è quello che avevo pensato, anche qua e là incomprensibile e zeppo di errori ortografici]. E allora può succedere che nel rimettere ordine nel testo qualcosa resti invece scombussolato!.

Bye, bye!

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[orsoulx]

Erasmus, Erasmus... vacci piano con il rum! Per quanto mi sforzi non capisco alcunché della tua 'dimostrazione': probabilmente hai fatto un po' di macedonia coi nomi dei punti

"Erasmus_First": massimoaa ha scritto:
Un punto M descrive una semicirconferenza di diametro AB. Determinare il luogo geometrico descritto dal punto P d'incontro di MB con la perpendicolare abbassata da A sulla bisettrice dell'angolo AMBˆ.

Senza geometria analirtica ...
Sia C il centro della circonferenza di diametro AB.
Siccome l'angolo AMBˆ alla data semi-circonverenza di diametro AB è costantemente retto, l'angolo AMPˆ resta mezzo angolo retto

.
Fermiamoci qui, che dopo è peggio.
Ma se M, B e P sono allineati, come può l'angolo AMP essere metà di AMB? Dovrebbero essere il medesimo angolo o, al più, supplementari, se M abitasse fra B e P (e non è così).

Ciao

[Erasmus_First]

"orsoulx":Erasmus, Erasmus... vacci piano con il rum! [...]

Sì: il testo aveva una parte incomprensibile. ma non è colpa del rum: è colpa del mio computer che a volte agisce "sponte" ... come quello dell'astronave di "Odissea nello spazio".
Ho corretto e ora il teto mi pare OK.
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@ orsoulx.
Ma dov'è che avrei detto che M, B e P sono allineati? Questo ... "errore" non mi pare che ci fosse nemmeno prima della correzione.

Siccome P è l'intersezione della perpendicolare per A alla bisettrice di $\hat{AMB}$ con questa stessa bisettrice, per riferirmi a questa bisettrice la dico "retta MP" ... che interseca la circonferenza (oltre che in M) in un punto N che resta fisso mentre M cammina (e MP gira attorno ad N. Al tendere di M a B il punto P tende ad N. Andando a ritroso, al tendere di M ad A anche P tende ad A.

Il clou del mio discorso sta nel rimarcare che
a) al muoversi di M l'angolo $\hat{ACN}$ resta retto (perché angolo al centro corrispondente d'un angolo alla circonferenza ampio mezzo angolo retto) e quindi che N è un punto fisso e infine che P si muove sulla crconferenza di diametro AN,
b) Che $bar{AB}$/$\bar{AN}=sqrt2$, cioè che la traiettoria descritta da P è più piccola di quella descritta da M (nel rapporto 1 a $sqrt2$).

Ciao ciao

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[orsoulx]

@Erasmus:
Ritengo che, fraintendendo il testo, tu abbia risolto un problema diverso da quello proposto.

"Erasmus_First":Ma dov'è che avrei detto che M, B e P sono allineati?

"massimoaa":Un punto M descrive una semicirconferenza di diametro AB. Determinare il luogo geometrico descritto dal punto P d'incontro di MB...

Mi pare non possa esserci un'interpretazione che prescinda dall'allineamento dei punti M, B e P.

Ciao