Trigonometria bis

[axpgn]

Provare che
[size=150]

$(cos(theta))^p<=cos(ptheta)$

[/size]
per
[size=150]

$0<=theta<=pi/2$ e $0[/size]



Cordialmente, Alex

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Risposte

Quinzio

11 ott 2023, 17:16

Tenendo fisso un certo valore di $\Theta$, abbiamo $f(p) \le g(p)$.
Agli estremi, $p = 0$ e $p = 1$ le due funzioni sono uguali, $1$ e $cos \theta$.

Prendiamo la derivata seconda di $f(p)$ e $g(p)$ e vediamo che
$f''(p) = (ln(cos \theta)) ^ 2 (\cos \theta)^p \ge 0 $
$g''(p) = -p^2 cos (p \theta) \le 0$

Una funzione rivolge la concavita' verso l'alto l'altra verso il basso, ed avendo gli stessi estremi, non hanno altri punti in comune.

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axpgn

11 ott 2023, 20:52

"Quinzio":Tenendo fisso un certo valore di $\Theta$, abbiamo $f(p) \le g(p)$.

Come deduci questo?

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Mathita

13 ott 2023, 07:36

Sia $f$ la funzione ausiliaria $f(\theta)=\cos^p(\theta)-\cos(p\theta)$, con $p\in (0,1),\theta\in[0,\pi/2]$. Provare l'asserto equivale a dimostrare che $f$ è una funzione non positiva. Invocando Santo Wolfram, si ricava che l'espressione della derivata prima di $f$ (rispetto a $\theta$) è $$f'(\theta)=-p\cos^{p-1}(\theta)\sin(\theta)+p\sin(p\theta)=$$ $$=p\sin(\theta)\left(\frac{\sin(p\theta)}{\sin(\theta)}-\cos^{p-1}(\theta)\right)$$dove $\theta\in(0,\pi/2)$. Osserviamo a questo punto che siccome $\theta\in (0,\pi/2)$ e $p\in (0,1)$, allora valgono le seguenti relazioni:

1. $0
2. Siccome la funzione seno è notoriamente crescente nell'intervallo $(0,\pi/2)$, si ha che $0<\sin(p\theta)<\sin(\theta)<1$, di conseguenza $0<\frac{\sin(p\theta)}{\sin(\theta)}<1$

3. Dato che $0
I punti 2. e 3. garantiscono la negatività dell'espressione $\frac{\sin(p\theta)}{\sin(\theta)}-\cos^{p-1}(\theta)$ e permettono di concludere che $f'(\theta)<0$ per ogni $\theta in (0,\pi/2)$. Di fatto la funzione $f$ è strettamente decrescente in $[0,pi/2]$ e ha massimo in $\theta=0$, pertanto, per ogni $\theta\in [0,pi/2]$, si ha che: $$f(\theta)\le f(0)=0\implies \cos^p(\theta)\le\cos(p\theta)$$ QED

Bellina la disuguaglianza, mi piace un sacco.

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axpgn

13 ott 2023, 08:19

Perfetto!

Io la funzione ausiliaria l'avrei fatto al contrario, è più "normale"
E poi avresti $f(0)=0$
Per la derivata non è necessario scomodare Wolfram, dai!

Cordialmente, Alex

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Mathita

13 ott 2023, 08:25

Ho scritto di getto la risposta, non avevo carta e penna a portata di mano, per questo ho invocato Wolfram, santo protettore dei matematici che odiano fare derivate e integrali. No, dai, era una battuta la mia.

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axpgn

13 ott 2023, 08:26

Anche la mia

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[Quinzio]

Tenendo fisso un certo valore di $\Theta$, abbiamo $f(p) \le g(p)$.
Agli estremi, $p = 0$ e $p = 1$ le due funzioni sono uguali, $1$ e $cos \theta$.

Prendiamo la derivata seconda di $f(p)$ e $g(p)$ e vediamo che
$f''(p) = (ln(cos \theta)) ^ 2 (\cos \theta)^p \ge 0 $
$g''(p) = -p^2 cos (p \theta) \le 0$

Una funzione rivolge la concavita' verso l'alto l'altra verso il basso, ed avendo gli stessi estremi, non hanno altri punti in comune.

[axpgn]

"Quinzio":Tenendo fisso un certo valore di $\Theta$, abbiamo $f(p) \le g(p)$.

Come deduci questo?

[Mathita]

Sia $f$ la funzione ausiliaria $f(\theta)=\cos^p(\theta)-\cos(p\theta)$, con $p\in (0,1),\theta\in[0,\pi/2]$. Provare l'asserto equivale a dimostrare che $f$ è una funzione non positiva. Invocando Santo Wolfram, si ricava che l'espressione della derivata prima di $f$ (rispetto a $\theta$) è $$f'(\theta)=-p\cos^{p-1}(\theta)\sin(\theta)+p\sin(p\theta)=$$ $$=p\sin(\theta)\left(\frac{\sin(p\theta)}{\sin(\theta)}-\cos^{p-1}(\theta)\right)$$dove $\theta\in(0,\pi/2)$. Osserviamo a questo punto che siccome $\theta\in (0,\pi/2)$ e $p\in (0,1)$, allora valgono le seguenti relazioni:

1. $0
2. Siccome la funzione seno è notoriamente crescente nell'intervallo $(0,\pi/2)$, si ha che $0<\sin(p\theta)<\sin(\theta)<1$, di conseguenza $0<\frac{\sin(p\theta)}{\sin(\theta)}<1$

3. Dato che $0
I punti 2. e 3. garantiscono la negatività dell'espressione $\frac{\sin(p\theta)}{\sin(\theta)}-\cos^{p-1}(\theta)$ e permettono di concludere che $f'(\theta)<0$ per ogni $\theta in (0,\pi/2)$. Di fatto la funzione $f$ è strettamente decrescente in $[0,pi/2]$ e ha massimo in $\theta=0$, pertanto, per ogni $\theta\in [0,pi/2]$, si ha che: $$f(\theta)\le f(0)=0\implies \cos^p(\theta)\le\cos(p\theta)$$ QED

Bellina la disuguaglianza, mi piace un sacco.

[axpgn]

Perfetto!

Io la funzione ausiliaria l'avrei fatto al contrario, è più "normale"
E poi avresti $f(0)=0$
Per la derivata non è necessario scomodare Wolfram, dai!

Cordialmente, Alex

[Mathita]

Ho scritto di getto la risposta, non avevo carta e penna a portata di mano, per questo ho invocato Wolfram, santo protettore dei matematici che odiano fare derivate e integrali. No, dai, era una battuta la mia.

[axpgn]

Anche la mia