Trigonometria

[axpgn]

Trovare tutte le soluzioni reali dell'equazione:

[size=150]$sin(cos(x))=cos(sin(x))$[/size]



Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Soluzioni:

[giammaria2]

Ho due perplessità:
1) Non so cosa è successo alla risposta di Quinzio: io vedo la scritta "Soluzioni:" ma niente altro.
2) Non garantisco l'esattezza dei miei calcoli, fatti a mano perché la mia calcolatrice sembra irreperibile.

$cos(pi/2-cos x)=cos(sinx)$
$+-(pi/2-cosx)+2k pi=sin x$
$2k pi+-pi/2=sin x+-cos x$
Moltiplico per $sqrt2/2=sin frac pi 4=cos frac pi 4$
$sqrt2/2*2 pi(k+-1/4)=sin x cos frac pi 4+- cos x sin frac pi 4$
$sqrt 2 pi(k+-1/4)=sin(x+-pi/4)$
Il valore assoluto del secondo membro non supera 1, quindi deve aversi
$|sqrt 2 pi(k+-1/4)|<=1-> |k+-1/4|<=1/(sqrt 2 pi)->|k+-0.25|<=0.22$
Con k intero, il primo membro vale almeno 0,25, quindi questa diseguaglianza è impossibile: non ci sono soluzioni.

[axpgn]

@giammaria

1) Quinzio voleva dire che non ci sono soluzioni ma scritto così non significa niente tant'è che tu lo hai interpretato diversamente.

2) Non mi torna la tua prima equivalenza.

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Scrivi "Non mi torna la tua prima equivalenza"

Se ti riferisci alla mia prima riga, ho solo usato la formula degli angoli associati $sin alpha= cos(pi/2-alpha)$.
Nella seconda riga, ho usato il collegamento fra due angoli aventi lo stesso coseno.

[axpgn]

Rileggila.

Se $x=0$?

[giammaria2]

L'ho riletta, ma direi che le mie formule funzionano anche nel caso $x=0$. E questa non è una soluzione; infatti, sostituendola nell'equazione, essa diventa
$sin 1=cos 0 ->sin 1=1$
che è falso.

[axpgn]

Non l'hai riletta attentamente.

Da un lato dell'equivalenza hai $cos(sin(x))$; sostituendo $x=0$ abbiamo $cos(sin(0))=cos(0)=1$

Dall'altro lato abbiamo $cos(pi/2-cos(x))$; sostituendo $x=0$ abbiamo $cos(pi/2-cos(0))=cos(pi/2-1)=0.84$

Essendo un'equivalenza i due membri dovrebbero essere uguali, no?

[Quinzio]

"axpgn":@giammaria

1) Quinzio voleva dire che non ci sono soluzioni ma scritto così non significa niente tant'è che tu lo hai interpretato diversamente.

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Sì, ok, ok, ma la risoluzione dov'è?

[Quinzio]

Cerchiamo di mostrare che
$ \cos(\sin x) > \sin(\cos x)$

per $0 < x < \pi/2 $.
Fuori da questo intervallo le funzioni si ripetono con facili simmetrie.

Per $x=0$ e' facile vedere che $cos(0) = 1 > sin (1)$. Per $x=\pi/2$ vale un ragionamento simile.

Siccome $|\sin x| \le 1 < \pi/2$

allora $\cos(\sin x) > 0$

e quindi possiamo fare il quadrato dei membri.

$ \cos^2(\sin x) > \sin^2(\cos x)$
------------------------------------------------
Introduciamo

$ \cos^2(\sin x) > cos^2 x > \sin^2(\cos x)$

e cerchiamo di verificare le due disuguaglianze separatamente
-----------------------------------------------------------
Siccome il coseno e' monotono discendente, verificare

$ \cos^2(\sin x) > cos^2 x$

e' equivalente a dimostrare

$ \sin x < x$,

che e' noto dalla trigonometria.
-----------------------------------------
Per la seconda parte

$ cos^2 x > \sin^2(\cos x)$

facciamo la sostituzione $x -> \pi/2 - y$

$ cos^2 (\pi/2 - y) > \sin^2(\cos (\pi/2 - y))$

$ sin^2 y > \sin^2(\sin y)$

Siccome il seno e' monotono crescente l'ultima disuguaglianza e' equivalente a

$ y > \sin y$,

noto dalla trigonometria.

[giammaria2]

@ axpgn
Non ci siamo capiti: l'equivalenza che uso è $sin(cos x)=cos(pi/2-cos x)$, che è vera anche per x=0.
La prima riga scritta è il primo passaggio dell'equazione, così come diventa applicando quell'equivalenza; per x=0 i due membri sono diversi perché quella non è una soluzione dell'equazione.

[axpgn]

Eh, beh, se io parlo di equivalenza e me lo dici solo ora che ti riferivi a qualcosa che non c'era ...

Ogni lato dell'equazione ha periodo $2pi$ quindi ci riduciamo a $-pi
In questo intervallo abbiamo $0<=sin(x)<=10$.

Affinché sia $sin(cos(x))>0$ deve essere $0<=x Dato che la funzione $x-sin(x)$ è crescente e in particolare è pari a $0$ quando $x=0$, abbiamo $sin(x)0$, in particolare $sin(cos(x)) D'altra parte il coseno decresce in $[0, pi/2)$, quindi abbiamo $cos(x)

Cordialmente, Alex

Cita

Segnala

[giammaria2]

Mi scuso per la mancanza di chiarezza. Tentavo di risolvere l'equazione e mi è parso del tutto spontaneo iniziare con lo stesso accorgimento con cui avrei risolto $sin 5x=cos 3x$.
Per questo non capivo a cosa ti riferivi parlando di equivalenza, ma confesso di non averci badato molto.

[axpgn]

Di nulla