Triangolo e rapporti

[axpgn]

Sia dato un triangolo $ABC$ e un suo punto interno $P$.

Le rette $AP, BP, CP$ intersecano i lati opposti nei punti $A', B', C'$.


Dimostrare che tra i rapporti $(AP)/(PA'), (BP)/(PB'), (CP)/(PC')$ almeno uno è minore o uguale a $2$ e almeno uno è maggiore o uguale a $2$.



Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Se due triangoli hanno la stessa altezza, le loro aree sono proporzionali alle loro basi, quindi
$k_A=(AP)/(A'P)=(S(APC))/(S(A'PC))" "→" "S(APC)=k_A*S(A'PC)$
ed analogamente ricavo $S(ABP)=k_A*S(A'BP)$
Sommando le aree dei quattro triangoli ottengo l'area $S$ di $ABC$ e con pochi passaggi arrivo a
$S=(1+k_A)*[S(A'PC)+S(A'BP)]=(1+k_A)*S(BCP)" "→" "S(BCP)=1/(1+k_A)S$
Formule analoghe valgono con $k_B, k_C$; sommandole tutte ottengo
$S=[1/(1+k_A)+1/(1+k_B)+1/(1+k_C)]S$
e quindi la media delle tre frazioni è $1/3$; se ce n'è una superiore a questo valore, ce n'è anche una inferiore. Supponendo che la prima frazione vi sia superiore (o uguale) ho
$1/(1+k_A)>=1/3->1+k_A<=3->k_A<=2$
Analogo per la frazione che è inferiore.

[axpgn]

Benissimo!


Cordialmente, Alex

[totissimus]

M puntomedio di AB
N punto medio di AC
R punto medio di BC
G baricentro

Il triangolo ABC è diviso nei sei triangoli AMG, AGN, BMG,BRG,CGR,CGN

IL punto P è in uno di questi sei triangoli.

Supponiamo P in AMG.

Il segmento MN è parallelo al lato BC.

Dal punto P conduciamo la parallela ad AB fino ad incontrare AR in
P'.

Per il teorema di Talete segue

$AP:PA'=AP':P'R$

$AP'GR$

$\frac{AP}{PA'}=\frac{AP'}{P'R}<\frac{AG}{GR}=2$

Dal punto P conduciamo la parallela al tato AB fino ad incontrare
CM nel punto P''.

Per il teorema di Talete segue

$CP:PC'=CP'':P''M$

$CP''>CG,P''M
$\frac{CP}{PC''}=\frac{CP''}{P''M}>\frac{CG}{GM}=2$

[axpgn]