Triangolo

[axpgn]

Da un punto $D$ sull'ipotenusa $BC$ del triangolo rettangolo $ABC$, tracciare le perpendicolari $DE$ e $DF$ rispettivamente ad $AC$ e ad $AB$.

Determinare la posizione di $D$ in modo tale che la lunghezza di $EF$ sia la minima possibile.

E se invece il triangolo fosse arbitrario?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

"axpgn":Determinare la posizione di $D$ in modo tale che la lunghezza di $EF$ sia la minima possibile.

$DE = AB (AC^2)/(AC^2+AB^2)$

[axpgn]

Non l'ho mica capita ...

Che fai? Ti metti lì con righello e squadra e provi a trovare $D$ tra le infinite possibilità?
E poi, non ci sono le misure dei lati, quindi?
E la dimostrazione?

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

"axpgn":

Non l'ho mica capita ...

Che fai? Ti metti lì con righello e squadra e provi a trovare $D$ tra le infinite possibilità?
E poi, non ci sono le misure dei lati, quindi?
E la dimostrazione?

Cordialmente, Alex

Arrivo.... sono andato a comprare righello e squadra nuovi.

Direi che si fa cosi.
Su BC si tracci il segmento CM di lunghezza uguale ad AC.
Si traccia la perpendicolare ad AC che passa per M e individua il punto N su AC.
Su BC si tracci il segmento CD di lunghezza uguale ad NC.
D e' il punto richiesto.

https://www.geogebra.org/calculator/ftsj7sac

[Quinzio]

E se invece il triangolo fosse arbitrario?

Un angolo eventualmente ottuso deve essere in A, giusto ?

[Quinzio]

Sembra che funzioni per tutti i triangoli.

Direi che si fa cosi.
Su BC si tracci il segmento CM di lunghezza uguale ad AC.
Si traccia la perpendicolare ad AC che passa per M e individua il punto N su AC.
Su BC si tracci il segmento CD di lunghezza uguale ad NC.
D e' il punto richiesto.

https://www.geogebra.org/calculator/jzjqxv7v

[axpgn]

Ammesso e non concesso che quella costruzione funzioni manca sempre il perché dovrebbe funzionare

Comunque c'è una dimostrazione semplice, quantomeno per il caso particolare ...


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Nel caso del triangolo rettangolo c'e' una dimostrazione analitica.

Se $k = (AE) /(AC)$ allora $1-k = (AF)/(AB)$

La lunghezza del segmento: $EF^2 = (k\ AC)^2 + ((1-k) AB)^2$

Derivando rispetto a $k$ ed esplicitando $k$,

$k = ((AB)/(BC))^2$

[axpgn]

Premesso che non ho capito esattamente il "giro" che hai fatto (problema mio), non mi tornano comunque i conti; prova tu stesso con qualche caso.

[giammaria2]

Nel caso del triangolo rettangolo la soluzione è veramente semplice.

EF è minimo quando D è il piede dell'altezza uscente da A. Infatti, poiché AEDF è un rettangolo, si ha EF=AD, e AD è minimo quando è la distanza di A dalla retta BC.

[axpgn]

Esatto!


Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Ho trovato la soluzione anche nel caso generale, ma con calcoli trigonometrici abbastanza lunghi e quindi mi limito ad indicare la risposta finale, nella speranza che qualcuno la dimostri in modo più rapido. Magari quel qualcuno sarò io, che continuerò a pensarci.

In ogni caso, si ha il minimo quando D è il piede dell'altezza uscente da A

.

[axpgn]

La risposta è corretta ma come hai giustamente intuito non è necessario ricorrere alla trigonometria


Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Eureka! Un po' di trigonometria è però necessaria, a meno di lunghi giri.

I punti E, F stanno sulla circonferenza di diametro AD perché lo vedono sotto un angolo retto. Su EF insiste l'angolo $ E hatA F=alpha$ e quindi per il teorema della corda $EF=AD sin alpha$. Perciò EF è minimo quando lo è AD, che deve quindi essere perpendicolare a BC.

[axpgn]

La strada è quella giusta ma la trigonometria non serve e neppure lunghi giri

[axpgn]

Senza trigonometria:

Il quadrilatero $AEDF$ non sarà un rettangolo in un triangolo arbitrario però è sempre ciclico.
Quindi $EF$ non solo è una corda ma è sottesa sempre allo stesso angolo ($\hatA$).
Più piccolo è il cerchio, più corta è la corda.

Più corto è il diametro, più piccolo è il cerchio.
Ma il diametro è sempre $AD$ ($\hatE$ e $\hatF$ sono retti) e $AD$ è minimo quando $AD$ è perpendicolare a $BC$.

Cordialmente, Alex