Triangoli sul piano

[axpgn]

Dimostrare che è impossibile ricoprire l'intero piano con triangoli in modo tale che ad ogni vertice si incontrino cinque triangoli.



Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Non so che aspetto puo' avere una dimostrazione del genere, ma provo a fare un ragionamento.
Prendo un punto sul piano e da li faccio partire 5 segmenti a raggiera.
Quindi unisco i 5 punti "nuovi" con dei segmenti.
La figura ottenuta e' un pentagono e ad ogni vertice arrivano 3 segmenti.
Quindi da ogni punto faccio partire altri 2 segmenti e questi segmenti, presi due alla volta, si congiungono in un punto nuovo.
Unisco i nuovi punti con dei segmenti e ottengo uno pentagono che racchiude quello precedente.
Ad ogni vertice del pentagono arrivano 4 segmenti, quindi faccio partire da ogni punto solo un segmento.

A questo punto pero' la costruzione non puo' piu' proseguire.
Non so come si possa dimostrare formalmente che non puo' piu' proseguire, ma in modo informale non e' difficile da vedere, se ci si fa un disegno.
Non posso unire le estremita' dei nuovi segmenti perche' formerebbero dei quadrilateri.
Non posso unire le estremita' tra di loro perche' in numero dispari e continuando non si formerebbero altri triangoli.

Quindi, la prima costruzione e' "obbligata" e presto si arriva a non poter piu' proseguire la costruzione.

Ad esempio, se il problema fosse simile, ma ad ogni vertice devono incontrarsi 3 triangoli, la costruzione si ferma subito.
Siccome prendo un punto e dal punto escono 3 segmenti a raggiera. Unisco le estremita' libere e ottengo un triangolo. Ma ai 3 vertici arrivano gia' 3 segmenti e non si puo' proseguire oltre.

[axpgn]

Sinceramente non mi è chiara per niente

Già qui

"Quinzio":Quindi da ogni punto faccio partire altri 2 segmenti e questi segmenti, presi due alla volta, si congiungono in un punto nuovo.

non si capisce cosa vuoi dire

Comunque si può dare una dimostrazione formale

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

So che non è una risposta rigorosa o esaustiva ma è un abbozzo... Guardando lo sviluppo sul piano dell'icosaedro si può facilmente osservare come si possono aggiungere triangoli solo "di lato" e non "sopra" o "sotto". Devo ancora trovare una dimostrazione generale e formale comunque

[axpgn]

@Folpo13
I triangoli possono essere di qualsiasi tipo, non vorrei avessi sottinteso "equilateri" o qualche altra restrizione

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Provo di nuovo ma credo di non aver tenuto in conto qualcosa...

Se da ogni punto si "originano" $5$ triangoli che formano un angolo giro allora l'ampiezza media degli angoli sul piano deve essere $360/5=72°$ e questo deve valere per tutti i punti sul piano, ma questo è impossibile perché l'ampiezza media degli angoli in un triangolo è sempre $180/3=60°$

[axpgn]

... mmm ... non mi pare una dimostrazione ...

Per esempio, confronti gli angoli di cinque triangoli in un punto con gli angoli di un triangolo in tre punti diversi ... perplesso ...

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Forse hai frainteso.

Per ipotesi la media di tutti gli angoli devono essere in media di 72 gradi. Ma la "geometria" dice che la media degli (sempre tutti) angoli è sempre 60 gradi perché angoli in trangoli

[axpgn]

Non ho frainteso, avevo capito benissimo ma ...

È una prova? È una dimostrazione? È questo il mio dubbio ...
Tu scrivi

"Folpo13":Per ipotesi la media di tutti gli angoli deve essere di 72 gradi

ma non è esatto in realtà perché non sono TUTTI gli angoli del piano ma TUTTI gli angoli che scaturiscono da quella tassellatura ipotetica (ovvero sono solo un sottoinsieme di tutti gli angoli del piano)
Capisco quello che intendi ma formalmente mi pare che manchi qualcosa perché sia una vera dimostrazione.
IMHO

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Ogni triangolo ha 3 vertici (e angoli). Ad ognuno di questi vertici "concergono" altri 4 triangoli. E per ognuno di questi altri triangoli vale la stessa cosa e così all'infinito. Tutti gli angoli di ogni triangolo ovviamente sono definiti da un vertice. La media degli angoli che si incontrano in un vertice è per forza 72 quindi la media di tutti è 72. Ma è vero anche che tutti gli angoli appartengono ad un triangolo e quindi la media di tutti gli angoli è 60, che è una contraddizione. No? Se è sbagliato come ragionamento non ho capito bene dove

[axpgn]

@Folpo13

Attenzione, io non ho detto che è un ragionamento sbagliato (anzi sicuramente è corretto, quella tassellatura è impossibile) ma che non è una dimostrazione rigorosa, formale, ineccepibile ovvero che non sia sufficiente, da sola, a sostenere la tesi (almeno così com'è espressa, forse vanno aggiunte delle ipotesi).
Magari invece è sufficiente e i miei dubbi sono infondati.
Tutto a mio parere, s'intende
Chiaramente, io ho un'altra dimostrazione, sostanzialmente geometrica, che mi pare più "definitiva"

Cordialmente, Alex

[axpgn]

@Folpo13

Per esempio, un punto debole della tua teoria potrebbe essere questo: tu usi il concetto di "media" ma la media di cui parli è definita per un numero finito di termini, cos'è invece la media di un numero infinito di termini? È la stessa cosa? Ha le stesse proprietà? Ecc.
Sono cose come questa che mi rendono dubbioso ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Qualcun altro vuol provarci?


Cordialmente, Alex

[axpgn]

Dimostriamolo per assurdo.

Se ad ogni vertice si incontrano cinque triangoli, allora la somma di quattro angoli qualsiasi deve essere maggiore di $180°$.

Prendiamo un triangolo arbitrario $T$.

I triangoli che hanno almeno un vertice in comune col triangolo $T$ formerebbero un esagono $S$; ad ognuno dei vertici $A_1, A_2, A_3$ si incontreranno tre triangoli e ad ognuno dei tre rimanenti vertici $B_1, B_2, B_3$ se ne incontreranno due.

L'esagono $S$ avrà una coppia di triangoli aderenti ad esso ai vertici $A_1, A_2, A_3$ e un altro triangolo, in aggiunta alle coppie sopra menzionate, aderente ad esso a ciascuno dei vertici $B_1, B_2, B_3$.
L'intera figura composta dall'esagono $S$ e dai triangoli aderenti ad esso, formerà il triangolo $C_1C_2C_3$.
Ad ogni vertice di questo triangolo si incontreranno quattro triangoli e la somma dei quattro angoli al vertice è minore di $180°$.
Contraddizione.

Cordialmente, Alex