Triangoli dello stesso tipo

[milizia96]

Due triangoli vengono detti “dello stesso tipo” se sono entrambi acuti, retti, od ottusi.
Sia $n$ un intero positivo, e sia $P$ un poligono regolare di $n$ lati. Ad ogni vertice di $P$ si trova esattamente un piccione. Un cacciatore di passaggio disturba i volatili, che volano via. Quando ritorna, esattamente un piccione si trova su ogni vertice di $P$, non necessariamente nella sua posizione originaria.
Trovare tutti gli $n$ per cui devono esistere, in qualunque modo si siano scambiati di posto i piccioni, tre piccioni con questa proprietà: il triangolo formato dai vertici dove i piccioni sono seduti originariamente, e il triangolo formato dai vertici dove i piccioni sono seduti dopo che sono ritornati, sono “dello stesso tipo”.

[xXStephXx]

Qui se $n$ è pari ci sono almeno $3$ piccioni che formavano un triangolo rettangolo sia prima che dopo. Infatti se prima $A$ e $B$ erano diametralmente opposti, quel lato formava un triangolo rettangolo con tutti i vertici rimanenti. Quindi dopo se un vertice $X$ viene a trovarsi diametralmente opposto ad $A$, allora il triangolo $ABX$ è rettangolo e lo era pure prima.

Se $n$ è dispari non ci sono triangoli rettangoli, basterebbe che una delle due tipologie (ottusangoli o acutangoli) compaia più dell'altra per avere la certezza di poter trovare la terna di piccioni. Con questo dovrei escludere almeno gli $n$ del tipo $4k+3$ che hanno un numero di triangoli dispari. Ma in generale non dovrebbero essere uguali

Se rimane ancora, domani provo a fare il conto esatto xD

[xXStephXx]

Ok, meno casi del previsto

Facendo considerazioni sul fatto che i triangoli ottusangoli sono tutti e soli quelli che non passano per il centro la formula dovrebbe essere ${n(n-1)(n-3)}/8$. Quindi salvo errori di conto i triangoli ottusangoli sono più di quelli acutangoli per $n>5$
Quindi restano $n=3$ e $n=5$. Per $n=3$ è ovvio. $n=5$ invece è l'unico caso che fa eccezione.
Infatti se i vertici nell'ordine sono $ABCDE$ e poi diventano $ADBEC$ tutti i triangoli acutangoli si scambiano con quelli ottusangoli.