Traiettoria di due punti nel piano
Posto su un piano un riferimento cartesiano di centro O intorno al quale il punto A ruota con distanza 227,9 (Circonferenza) mentre un altro punto, B è fisso con distanza 21,2 da O.
La distanza AB è data da Carnot, mediante l’angolo α, tra OA e OB.
\( \overline{AB^2}=\overline{OA^2}+\overline{OB^2}-2\ \overline{OA}\ \overline{OB} \cos \alpha \)
Si indicano alcuni valori (a caso) di AB:
Tabella delle distanze AB in funzione di α°
Dalla formula e dai dati AB della tabella, racchiusi tra un dato massimo ed uno minimo, determinare qual’è il luogo descritto (traiettoria) da A rispetto a B?
La distanza AB è data da Carnot, mediante l’angolo α, tra OA e OB.
\( \overline{AB^2}=\overline{OA^2}+\overline{OB^2}-2\ \overline{OA}\ \overline{OB} \cos \alpha \)
Si indicano alcuni valori (a caso) di AB:
Tabella delle distanze AB in funzione di α°
| α° | \(AB^2\) | AB |
| 42.724,54 | 206,699=206,7 | 35,3° |
| 210,953 | 105,15° | 54.912,885 |
| 180° | 62.050,81 | 249,099=249,1 |
| 61.792,451 | 248,580 | 270° |
Dalla formula e dai dati AB della tabella, racchiusi tra un dato massimo ed uno minimo, determinare qual’è il luogo descritto (traiettoria) da A rispetto a B?
Risposte
A me sembra troppo facile; forse sbaglio di grosso o forse fraintendo il testo.
Poiché B è fisso, posso assumere un qualsiasi sistema di riferimento in cui questo accada. Scegliendolo con origine in O, la traiettoria di A è una circonferenza di centro O e raggio 227.9; resta tale anche se l'origine viene spostata in B.
Poiché B è fisso, posso assumere un qualsiasi sistema di riferimento in cui questo accada. Scegliendolo con origine in O, la traiettoria di A è una circonferenza di centro O e raggio 227.9; resta tale anche se l'origine viene spostata in B.
Grazie giammaria.
La circonferenza di A e il punto B sono dati (i valori numerici possono essere a piacere).
B è punto interno alla circonferenza.
Quello che si chiede è la curva che si ottiene dal moto di A (circonferenza) rispetto a B fisso: il riferimento indicato in O è per semplificazione.
La Tabella, data come esempio numerico, dà i valori della distanza AB che non essendo uguali non può dare una circonferenza.
Ciao. M.V.
La circonferenza di A e il punto B sono dati (i valori numerici possono essere a piacere).
B è punto interno alla circonferenza.
Quello che si chiede è la curva che si ottiene dal moto di A (circonferenza) rispetto a B fisso: il riferimento indicato in O è per semplificazione.
La Tabella, data come esempio numerico, dà i valori della distanza AB che non essendo uguali non può dare una circonferenza.
Ciao. M.V.
"MaxVag":
La Tabella, data come esempio numerico, dà i valori della distanza AB che non essendo uguali non può dare una circonferenza.
Certo che può! Se A ruota su una circonferenza e B è un punto diverso dal centro, la distanza AB varia al variare di A. Fatti un disegno, e lo vedi subito.
Nel tuo caso, resta costante la distanza OA ed è questo che dice che si ha una circonferenza.
Probabilmente intendeva il contrario: la "traiettoria" di $B$ rispetto ad $A$.
Non credo che axpgn abbia ragione, dato che il testo iniziale dice che B è fisso.
Mi è invece venuto in mente un esempio che forse può convincere MaxVag. Pensa che A sia un'automobile che sta percorrendo la pista circolare di centro O; tu la guardi dal punto B. In certi momenti l'auto si avvicina a te ed in altri si allontana; la sua traiettoria è però quella pista.
Mi è invece venuto in mente un esempio che forse può convincere MaxVag. Pensa che A sia un'automobile che sta percorrendo la pista circolare di centro O; tu la guardi dal punto B. In certi momenti l'auto si avvicina a te ed in altri si allontana; la sua traiettoria è però quella pista.
Facciamo un attimo il punto!
Se A si muove su una circonferenza e B fisso è un punto interno a questa circonferenza, le sue distanze da A variano di volta in volta: e proprio perchè le sue distanze variano che il punto B non può essere centro di una circonferenza di A.
La traiettoria di A rispetto a B (tenete sempre presente questo) sarà allora un’altra curva.
Non lasciamoci trascinare da «si vede o non si vede»: se vogliamo essere dei matematici dobbiamo dare dimostrazioni.
Sarei felicissimo che qualcuno dimostrasse che A ruota intorno a B secondo una circonferenza: io sono riuscito ad ottenere solo la banale dimostrazione che la curva di A rispetto a B è una ellisse.
Pertanto senza influenzarvi, se riuscite a dare la vostra dimostrazione bene, altrimenti proverò a darvi la mia per essere d’accordo su un punto di partenza per una discussione: non vi ho proposto l’esercizietto per farvi perdere tempo!
A presto, ciao a tutti. M.V.
Se A si muove su una circonferenza e B fisso è un punto interno a questa circonferenza, le sue distanze da A variano di volta in volta: e proprio perchè le sue distanze variano che il punto B non può essere centro di una circonferenza di A.
La traiettoria di A rispetto a B (tenete sempre presente questo) sarà allora un’altra curva.
Non lasciamoci trascinare da «si vede o non si vede»: se vogliamo essere dei matematici dobbiamo dare dimostrazioni.
Sarei felicissimo che qualcuno dimostrasse che A ruota intorno a B secondo una circonferenza: io sono riuscito ad ottenere solo la banale dimostrazione che la curva di A rispetto a B è una ellisse.
Pertanto senza influenzarvi, se riuscite a dare la vostra dimostrazione bene, altrimenti proverò a darvi la mia per essere d’accordo su un punto di partenza per una discussione: non vi ho proposto l’esercizietto per farvi perdere tempo!
A presto, ciao a tutti. M.V.
"MaxVag":
proprio perchè le sue distanze variano che il punto B non può essere centro di una circonferenza di A.
La traiettoria di A rispetto a B (tenete sempre presente questo) sarà allora un’altra curva.
Ed infatti è un'altra curva: è una circonferenza il cui centro non è B.
Forse non hai ben chiaro il concetto di traiettoria. Pensa ad una macchina fotografica che ad intervalli molto ravvicinati fotografi soltanto A (ad esempio, può essere l'unico punto luminoso), imprimendo tutte le immagini su una stessa lastra: si chiama traiettoria la linea che tu vedi su quella lastra. Avviso ai pignoli: considero solo i moti nel piano orizzontale, che penso fotografati dall'alto.
Quando diciamo "traiettoria rispetto a B" intendiamo che la macchina fotografica si trova in B (o sulla sua verticale); nel tuo caso, in cui B è fisso, la traiettoria è una circonferenza.
Diverso sarebbe se B fosse in moto, ad esempio se si spostasse con moto rettilineo uniforme verso Nord. In questo caso ogni volta che A ha terminato un giro si trova, rispetto a B, un po' più a Sud di prima e la traiettoria di A rispetto a B non sarebbe più una circonferenza ma sarebbe formata da una linea di figure pressoché ovali collegate fra loro.
Nego recisamente che possa esserci un'ellisse con i valori indicati (bé, a meno che degeneri nella predetta circonferenza); ti sfido a darmi l'equazione di un'ellisse per cui questo succeda, per ogni valore di $alpha$.
Se vuoi mandare la tua dimostrazione, fai pure. Per risponderti in modo a te comprensibile avremo però bisogno di sapere il tuo livello di conoscenza: che classe frequenti?
"MaxVag":Ma che bella scoperta! E chi ha mai detto che se una curva "è una circonferenza rispetto a B" B debba essere il suo centro?
[...] proprio perchè le sue distanze variano che il punto B non può essere centro di una circonferenza di A.
Se A gira su una circonferenza ovviamente gira attorno al centro di questa circonferenza (che non è B dato che B è distinto dal centro avendo da esso la distanza che hai deto che ha).
Punto e basta!
"MaxVag":Ma se hai detto che B è fisso e che A gira su una circonferenza, come fa 'sta circonferenza a non essere più una circonferenza? Hai mai sentito parlare del "principio di non contraddizione"?
La traiettoria di A rispetto a B (tenete sempre presente questo) sarà allora un’altra curva.
"MaxVag":Ooh per Bacco! Ma cosa vuoi dimostrare se non c'è niente da dimostrare?
Non lasciamoci trascinare da «si vede o non si vede»: se vogliamo essere dei matematici dobbiamo dare dimostrazioni.
La dizione "rispetto al punto B" significa che devi immaginare il vettore differenza tra la posizione di A e la posizione di B (qualunque siano le posizioni di A e B risopetto ad un prefissato riferimento).
Quindi, prescindendo dagli assi cartesiani – disegnarli o no non cambia un tubo! – considera nel piano del disegno una circonferenza (che tu stesso puoi disegnare dove ti pare) ed un punto B piazzato dove vuoi tu purché non sia nel centro della circonferenza). Adesso prendi un punto qualsiasi della circonferenza e battezzalo A. Poi traccia una "freccia" con la coda in B e la punta in A (ossia il segmento BA orientato da B ad A. Adesso immagina che questo disegno – una circonferenza, un suo punto A, un altro punto B ed una fraccia con la coda in B e la punta in A – sia una foto (una "istanntanea") del punto A che gira sulla circonferenza restando però collegato a B con un elastico (tanto cedevole da permettere ad A di andare nel punto della circonferenza alla massima distanza da B ma abbastanza corto in modo da restare teso anche quando A è alla minima distanza da B).
Se scatti tante foto mentre il punto A fa un giro e poi misuri in ogni foto la lunghezza dell'elastico e l'angolo di cui ha girato il punto A ti puoi costruire una tabella analoga a quella che hai messo tu. [Non identica, perché i numeri dipendono da quale è il raggio della circonferenza, da dove hai piazzato il punto B, dalla velocità di A e dall'intervallo di tempo tra una foto e la successiva).
Ciao ciao (a tutti, specie a Gianmaria),
______
La circonferenza di centro O percorsa dal punto A e il punto fisso B sono dati (i valori possono essere dati a caso); B e un punto interno alla circonferenza.
Diamo dei valori OA=R e OB=r.
Se ipotizzo r=0 avrò che il punto B coincide con il punto A: allora A ruota rispetto ad O secondo una circonferenza ed anche rispetto al punto B la sua curva (traiettoria) sarà una circonferenza poichè la distanza AB=OA.
Se ora ipotizzo r>0 il punto B non è più in O, il punto A ruoterà ancora secondo una circonferenza di centro O, ma rispetto al punto B che si è spostato, la sua curva, rispetto a quest’ultimo, sarà diversa da una circonferenza e la distanza AB non sarà più costante, ma varierà da un massimo (R+r) ad un minimo (R-r) (vedi esempio tabella).
Noi non possiamo vedere che genere di curva (traiettoria) avrà il punto A rispetto a B, perché vediamo solo che A percorre una circonferenza, ma possiamo cercarlo!
Riprendendo la formula di Carnot, indicata nel testo, applichiamo una trasformazione di equazioni (affinità).
\(\overline {AB}=\sqrt{\overline {OA^2}+\overline {OB^2}-2\overline{OA}\ \overline{OB} \cosα}=\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha/2)}=
\sqrt{R^2(\cos^2α/2+sin^2α/2)+r^2(\cos^2α/2+sin^2α/2)-2Rr (\cos^2α/2-sin^2α/2)}=\sqrt{(R-r)^2 \cos^2α/2+(R+r)\sin^2α/2}\\\)
posto(R-r)=b e (R+r)=a avremo infine:
\(\overline{AB}=\sqrt{b^2 \cos^2α/2+a^2\sin^2α/2}\\\)
pervenendo all’equazione di una ellisse in forma parametrica \(y=a\sinα/2 \qquad x=b\cosα/2\) con (b) asse minore sull’ascissa e (a) asse maggiore sull’ordinata.
Il valore AB, dunque, non solo mi fornisce i valori della distanza dei punti A e B ma in base ai suoi valori mi indica anche la traiettoria di A rispetto a B.
Aggiungiamo che l’angolo al centro della circonferenza è α, come indicato mentre l’angolo al centro β dell’ellisse sappiamo essere
\(\frac{y}{x}=\tanβ= \frac{a\sinα/2}{b\cosα/2}=\frac{a}{b}\tanα/2 \)
Noi vediamo che il punto A percorre sempre una circonferenza, ma dalla dimostrazione sopra sappiamo che il suo percorso rispetto a B è una ELLISSE!
L’equazioni indicate potrebbero essere provate con qualche programma tipo Grapher, Geogebra, Mathematica o altre, così potremmo risparmiare gli elastici.
Diamo dei valori OA=R e OB=r.
Se ipotizzo r=0 avrò che il punto B coincide con il punto A: allora A ruota rispetto ad O secondo una circonferenza ed anche rispetto al punto B la sua curva (traiettoria) sarà una circonferenza poichè la distanza AB=OA.
Se ora ipotizzo r>0 il punto B non è più in O, il punto A ruoterà ancora secondo una circonferenza di centro O, ma rispetto al punto B che si è spostato, la sua curva, rispetto a quest’ultimo, sarà diversa da una circonferenza e la distanza AB non sarà più costante, ma varierà da un massimo (R+r) ad un minimo (R-r) (vedi esempio tabella).
Noi non possiamo vedere che genere di curva (traiettoria) avrà il punto A rispetto a B, perché vediamo solo che A percorre una circonferenza, ma possiamo cercarlo!
Riprendendo la formula di Carnot, indicata nel testo, applichiamo una trasformazione di equazioni (affinità).
\(\overline {AB}=\sqrt{\overline {OA^2}+\overline {OB^2}-2\overline{OA}\ \overline{OB} \cosα}=\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha/2)}=
\sqrt{R^2(\cos^2α/2+sin^2α/2)+r^2(\cos^2α/2+sin^2α/2)-2Rr (\cos^2α/2-sin^2α/2)}=\sqrt{(R-r)^2 \cos^2α/2+(R+r)\sin^2α/2}\\\)
posto(R-r)=b e (R+r)=a avremo infine:
\(\overline{AB}=\sqrt{b^2 \cos^2α/2+a^2\sin^2α/2}\\\)
pervenendo all’equazione di una ellisse in forma parametrica \(y=a\sinα/2 \qquad x=b\cosα/2\) con (b) asse minore sull’ascissa e (a) asse maggiore sull’ordinata.
Il valore AB, dunque, non solo mi fornisce i valori della distanza dei punti A e B ma in base ai suoi valori mi indica anche la traiettoria di A rispetto a B.
Aggiungiamo che l’angolo al centro della circonferenza è α, come indicato mentre l’angolo al centro β dell’ellisse sappiamo essere
\(\frac{y}{x}=\tanβ= \frac{a\sinα/2}{b\cosα/2}=\frac{a}{b}\tanα/2 \)
Noi vediamo che il punto A percorre sempre una circonferenza, ma dalla dimostrazione sopra sappiamo che il suo percorso rispetto a B è una ELLISSE!
L’equazioni indicate potrebbero essere provate con qualche programma tipo Grapher, Geogebra, Mathematica o altre, così potremmo risparmiare gli elastici.
Ragionando nel tuo stesso modo avrei anche potuto scrivere
$bar(AB)=sqrt(R^2(cos^2 alpha+sin^2 alpha)+r^2-2Rrcos alpha)=$
$" "=sqrt((R^2 cos^2 alpha+r^2-2Rrcos alpha)+R^2 sin^2 alpha)=sqrt((Rcos alpha-r)^2+(Rsin alpha)^2)$
e concludere che le equazioni parametriche del luogo sono
${(x=R cos alpha-r),(y=Rsin alpha):}harr{(x+r=R cos alpha),(y=Rsin alpha):}->(x+r)^2+y^2=R^2$
ottenendo quindi la circonferenza di cui parlavo.
Oppure avrei potuto fare lo stesso calcolo, ma scambiando fra loro $R,r$: avrei ottenuto una circonferenza diversa.
L'errore sta nel fatto che dal solo
$bar(AB)=sqrt([f(alpha)]^2+[g(alpha)]^2)$
non si può dedurre
${(x=f(alpha)),(y=g(alpha)):}$
Occorre anche qualche altro ragionamento.
$bar(AB)=sqrt(R^2(cos^2 alpha+sin^2 alpha)+r^2-2Rrcos alpha)=$
$" "=sqrt((R^2 cos^2 alpha+r^2-2Rrcos alpha)+R^2 sin^2 alpha)=sqrt((Rcos alpha-r)^2+(Rsin alpha)^2)$
e concludere che le equazioni parametriche del luogo sono
${(x=R cos alpha-r),(y=Rsin alpha):}harr{(x+r=R cos alpha),(y=Rsin alpha):}->(x+r)^2+y^2=R^2$
ottenendo quindi la circonferenza di cui parlavo.
Oppure avrei potuto fare lo stesso calcolo, ma scambiando fra loro $R,r$: avrei ottenuto una circonferenza diversa.
L'errore sta nel fatto che dal solo
$bar(AB)=sqrt([f(alpha)]^2+[g(alpha)]^2)$
non si può dedurre
${(x=f(alpha)),(y=g(alpha)):}$
Occorre anche qualche altro ragionamento.
@ MaxVag
La tua dimostrazione che la curva è una ellisse ... è un barbatrucco, simpartico come "sofisma"!
Spero che Giammaria ti abbia finalmente convinto!
Oh perbacco bacchissimo! B è fermo!
Anche se la traiettoria di A fosse una curva qualsiasi (rispetto ad un riferimento in cui B è spettatore immobile!), rispetto ad A il punto B si muoverebbe su una traiettoria congruente con la prima: semplicemente spostata (in dipendenza dal posto in cui sta B) e girata di 180 gradi; e se la traiettoria di A era una curva chiusa il verso in cui gira B in un riferimento nel quale A è fermo è lo stesso di quello in cui gira A nel riferimnento in cui è fermo B.
Insomma: se B è fermo rispetto ad un riferimento rispetto al quale la velocità vettoriale di A è v(t), rispetto ad un riferimento in cui è fermo A la velocità di B è -v(t).
Come ha spiegato Giammaria (a MaxVag), la circonferenza cambia posto (in dipendenza da dove si trova B). Ma non cambia forma (né dimensioni)
In un riferimento qualsiasi di origine O cnsideriamo due punti A e B.
Siccome non so come si fa a mettere una freccia sulla coppia di lettere (per esempio AB) che rappresentino due punti distinti - nell'esempio il punto A e il punto B – in modo da rappresentare il vettore "traslazione" rappresentativo dello spostamento dal primo punto al secondo, per indicare questo spostamento scriverò A→B.
Se O è l'origine del riferimento, ale pposizioni di A e B sono;
p(A) = O→A; p(B) = O→B;
Allora: La posizione di A rispetto a B è B→A = (O→B) – (O→A).
La posizione di B rispetto ad A è l'opposto, cioè A→B = (O→A) – (O→B).
_______
––––
P.S. Editando il 6.12.2017 h18:15
Correggo qualcosa dierrato che ho scritto quando ho "postato" questo intervento. [E mi scuso con gli eventuali lettori].
Tra l'altro dicevo che, se A descrive una curva (sua traiettoria) in un riferinento in cui B è fermo, in un riferimento in cui è fermo A è B che descrive una curva "congruente" con quella descritta da A nel riferimento in cui è fermo B. E questo è vero!
Ma dicevo anche che se quelle traiettorie congruenti sono linee chiuse e A gira in un verso, allora B gira nel verso opposto. E questo è sbagliato!
Corretto è invece che A e B girano, ciascuno sulla propria traiettoria, nello stesso verso.
E' vero che le velocità sono opposte. Ma succede che le due curve congruenti sono anche una girata rispetto all'altra di mezzo giro. Insomma: la posizione di A rispetto a B e quella di B rispetto ad A sono una ooposta dell'altra.
Occhio: questo è vero se i punti che sono fermi rispetto ad un riferimento sono fermi anche rispetto all'altro riferimento.
Non è più così se un riferimento, pur restando "rigido", è in modo rispetto all'altro.
A ri-ciao a tutti.
La tua dimostrazione che la curva è una ellisse ... è un barbatrucco, simpartico come "sofisma"!
Spero che Giammaria ti abbia finalmente convinto!
"axpgn":Fosse pure così, la traiettoria di $B$ rispetto ad $A$ sempre circolare sarebbe!
Probabilmente intendeva il contrario: la "traiettoria" di $B$ rispetto ad $A$.
Oh perbacco bacchissimo! B è fermo!
Anche se la traiettoria di A fosse una curva qualsiasi (rispetto ad un riferimento in cui B è spettatore immobile!), rispetto ad A il punto B si muoverebbe su una traiettoria congruente con la prima: semplicemente spostata (in dipendenza dal posto in cui sta B) e girata di 180 gradi; e se la traiettoria di A era una curva chiusa il verso in cui gira B in un riferimento nel quale A è fermo è lo stesso di quello in cui gira A nel riferimnento in cui è fermo B.
Insomma: se B è fermo rispetto ad un riferimento rispetto al quale la velocità vettoriale di A è v(t), rispetto ad un riferimento in cui è fermo A la velocità di B è -v(t).
Come ha spiegato Giammaria (a MaxVag), la circonferenza cambia posto (in dipendenza da dove si trova B). Ma non cambia forma (né dimensioni)
In un riferimento qualsiasi di origine O cnsideriamo due punti A e B.
Siccome non so come si fa a mettere una freccia sulla coppia di lettere (per esempio AB) che rappresentino due punti distinti - nell'esempio il punto A e il punto B – in modo da rappresentare il vettore "traslazione" rappresentativo dello spostamento dal primo punto al secondo, per indicare questo spostamento scriverò A→B.
Se O è l'origine del riferimento, ale pposizioni di A e B sono;
p(A) = O→A; p(B) = O→B;
Allora: La posizione di A rispetto a B è B→A = (O→B) – (O→A).
La posizione di B rispetto ad A è l'opposto, cioè A→B = (O→A) – (O→B).
_______
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P.S. Editando il 6.12.2017 h18:15
Correggo qualcosa dierrato che ho scritto quando ho "postato" questo intervento. [E mi scuso con gli eventuali lettori].
Tra l'altro dicevo che, se A descrive una curva (sua traiettoria) in un riferinento in cui B è fermo, in un riferimento in cui è fermo A è B che descrive una curva "congruente" con quella descritta da A nel riferimento in cui è fermo B. E questo è vero!
Ma dicevo anche che se quelle traiettorie congruenti sono linee chiuse e A gira in un verso, allora B gira nel verso opposto. E questo è sbagliato!
Corretto è invece che A e B girano, ciascuno sulla propria traiettoria, nello stesso verso.
E' vero che le velocità sono opposte. Ma succede che le due curve congruenti sono anche una girata rispetto all'altra di mezzo giro. Insomma: la posizione di A rispetto a B e quella di B rispetto ad A sono una ooposta dell'altra.
Occhio: questo è vero se i punti che sono fermi rispetto ad un riferimento sono fermi anche rispetto all'altro riferimento.
Non è più così se un riferimento, pur restando "rigido", è in modo rispetto all'altro.
A ri-ciao a tutti.
"Erasmus_First":
Siccome non so come si fa a mettere una freccia sulla coppia di lettere (per esempio AB)...
Per ottenere $vec(AB)$ puoi scrivere, fra segni del dollaro, vec(AB)
giammaria devi leggere con attenzione tutto il problema: si cerca la distanza AB del triangolo BOAB dove OB=r=fisso e OA=R, con R raggio della circonferenza percorsa dal punto A con centro in O, al variare dell’angolo \(A \hat O B=\alpha\).
Se provi a fare due soldi di conti con carta e matita sull’ultimo membro della espressione, indicata sotto,
ti renderai conto che i valori di AB, variano in funzione di \((\alpha)\) da un minimo ad un massimo (come riscontro prova a seguire la tabella data), quindi non è una distanza costante e quindi non può essere raggio di una circonferenza.
Ripeto si cerca la curva di A rispetto a B (fisso!) che certamente non è una circonferenza.
Nella tua ultima considerazione ti affanni a dimostrare che R è raggio di una circonferenza: infatti è dato come tale!
Le altre tue considerazioni esulano dal problema.
A Erasmus: tu che conosci Grapher, lo potresti utilizzare provando le formule che ho indicato o altre, e vedere che grafico dà e farcelo sapere.
Se provi a fare due soldi di conti con carta e matita sull’ultimo membro della espressione, indicata sotto,
\( AB=\sqrt{(R\cos\alpha-r)^2+(R\sin\alpha)^2}\)
ti renderai conto che i valori di AB, variano in funzione di \((\alpha)\) da un minimo ad un massimo (come riscontro prova a seguire la tabella data), quindi non è una distanza costante e quindi non può essere raggio di una circonferenza.
Ripeto si cerca la curva di A rispetto a B (fisso!) che certamente non è una circonferenza.
Nella tua ultima considerazione ti affanni a dimostrare che R è raggio di una circonferenza: infatti è dato come tale!
Le altre tue considerazioni esulano dal problema.
A Erasmus: tu che conosci Grapher, lo potresti utilizzare provando le formule che ho indicato o altre, e vedere che grafico dà e farcelo sapere.
"Erasmus_First":
Fosse pure così, la traiettoria di $B$ rispetto ad $A$ sempre circolare sarebbe!
Così
Cordialmente, Alex
[ggb]https://www.geogebra.org/m/gD2uTAaD[/ggb]
giammaria ecco il grafico del problema.
In nero è la traccia del problema: si richiede la distanza AB in verde.La tua equazione:
\(AB= \sqrt{(R\cos\alpha-r)^2+R\sin\alpha}\\\)
è tracciata in rosso.
Tu ottieni una circonferenza, come quella di partenza spostata di r, dove A coincide con C, e O con B; ma non ottieni la distanza AB in verde, come puoi vedere dall’esempio.
La figura che vogliamo è la figura che si ottiene dallo spostamento del punto A, che rimane nella sua circonferenza, rispetto al punto B che abbia le stesse distanze indicate in verde nella figura.
giammaria ecco il grafico del problema.
In nero è la traccia del problema: si richiede la distanza AB in verde.La tua equazione:
\(AB= \sqrt{(R\cos\alpha-r)^2+R\sin\alpha}\\\)
è tracciata in rosso.
Tu ottieni una circonferenza, come quella di partenza spostata di r, dove A coincide con C, e O con B; ma non ottieni la distanza AB in verde, come puoi vedere dall’esempio.
La figura che vogliamo è la figura che si ottiene dallo spostamento del punto A, che rimane nella sua circonferenza, rispetto al punto B che abbia le stesse distanze indicate in verde nella figura.
"MaxVag":
Se provi a fare due soldi di conti con carta e matita sull’ultimo membro della espressione, indicata sotto,
\( AB=\sqrt{(R\cos\alpha-r)^2+(R\sin\alpha)^2}\)
ti renderai conto che i valori di AB, variano in funzione di \((\alpha)\) da un minimo ad un massimo (come riscontro prova a seguire la tabella data), quindi non è una distanza costante e quindi non può essere raggio di una circonferenza.
Infatti AB non è raggio di una circonferenza: è la distanza di B da un punto che ruota su una circonferenza e quindi varia da un minimo ad un massimo. Prova ad invertire il problema: sapendo che la traiettoria di A rispetto a B è una circonferenza con centro diverso da B, cosa succede ad AB?
Quanto alla tua dimostrazione, spero che almeno tu ti sia convinto che non regge perché con lo stesso ragionamento e cambiando solo i calcoli si possono trarre anche conclusioni diverse.
Per quanto riguarda la tua ultima figura: la ciconferenza di cui parlo è quella di centro O, in nero, ed ottengo davvero il segmento tracciato in verde. Poiché però continuavi ad insistere sul "rispetto a B", ho pensato che tu volessi porre l'origine in B e fatto i calcoli in conseguenza a questa ipotesi.
Comunque è evidente che non riesco a trovare parole che ti convincano e decido di ritirarmi dalla discussione; mi auguro che altri riescano dove io ho fallito.
"giammaria":
... mi auguro che altri riescano dove io ho fallito.
Impossibile.
"MaxVag":
La figura che vogliamo è la figura che si ottiene dallo spostamento del punto A, che rimane nella sua circonferenza, rispetto al punto B che abbia le stesse distanze indicate in verde nella figura.
Ce l'hai già, te la sei disegnata da solo: è la circonferenza nera ...
La circonferenza nera è data dai punti dello spostamento di $A$ ed in ogni suo punto la distanza in verde da $B$ varia, non è costante, e varia proprio come dici tu ...
Cordialmente, Alex
giammaria mi dispiacerebbe moltissimo se tu abbandonassi proprio ora.
Riscrivo l’espressione già scritta per comodità visiva
\(\overline {AB}=\sqrt{\overline {OA^2}+\overline {OB^2}-2\overline{OA}\ \overline{OB} \cosα}=\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha/2)}=
\sqrt{R^2(\cos^2α/2+sin^2α/2)+r^2(\cos^2α/2+sin^2α/2)-2Rr (\cos^2α/2-sin^2α/2)}=\sqrt{(R-r)^2 \cos^2α/2+(R+r)^2\sin^2α/2}\\\)
posto(R-r)=b e (R+r)=a avremo infine:
\(\overline{AB}=\sqrt{b^2 \cos^2α/2+a^2\sin^2α/2}\\\)
pervenendo all’equazione di una ellisse in forma parametrica \(y=a\sinα/2 \qquad x=b\cosα/2\) con (b) asse minore sull’ascissa e (a) asse maggiore sull’ordinata. Ecco un applet che la traccia:
[ggb]https://www.geogebra.org/m/Fe6P7c86[/ggb]
per quanto riguarda il curriculum, ti posso assicurare che la terza elementare l’ho fatta con profitto. Ti mando qualcosa di interessante da leggere, decidi tu:
http://geometriaparametrica.it/data/_uploaded/file/geometria/documenti/pdf/07-VII%20Apel.pdf
Riscrivo l’espressione già scritta per comodità visiva
\(\overline {AB}=\sqrt{\overline {OA^2}+\overline {OB^2}-2\overline{OA}\ \overline{OB} \cosα}=\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha/2)}=
\sqrt{R^2(\cos^2α/2+sin^2α/2)+r^2(\cos^2α/2+sin^2α/2)-2Rr (\cos^2α/2-sin^2α/2)}=\sqrt{(R-r)^2 \cos^2α/2+(R+r)^2\sin^2α/2}\\\)
posto(R-r)=b e (R+r)=a avremo infine:
\(\overline{AB}=\sqrt{b^2 \cos^2α/2+a^2\sin^2α/2}\\\)
pervenendo all’equazione di una ellisse in forma parametrica \(y=a\sinα/2 \qquad x=b\cosα/2\) con (b) asse minore sull’ascissa e (a) asse maggiore sull’ordinata. Ecco un applet che la traccia:
[ggb]https://www.geogebra.org/m/Fe6P7c86[/ggb]
per quanto riguarda il curriculum, ti posso assicurare che la terza elementare l’ho fatta con profitto. Ti mando qualcosa di interessante da leggere, decidi tu:
http://geometriaparametrica.it/data/_uploaded/file/geometria/documenti/pdf/07-VII%20Apel.pdf
"giammaria":
[...]Per risponderti in modo a te comprensibile avremo però bisogno di sapere il tuo livello di conoscenza: che classe frequenti?
"MaxVag":A costo di essere "bandito dal forum" (o "bannato" come usano dire modernamente le masse anglomani
[...] per quanto riguarda il curriculum, ti posso assicurare che la terza elementare l’ho fatta con profitto.[...]
), mi permetto di dire che la risposta di MaxVag alla cortese domanda di giammaria (tendente ad ottimizzare il dialogo con MaxVag nell'interesse dello stesso MaxVag) è stupida e pure intrinsecamente offensiva.Caro MaxVag: renditi almeno conto della scarsissima probabilità che la situazione attuale sia la seguente: tre persaonaggi come axpgn, giammaria ed Erasmus non solo sono tutti in disaccordo con te, ma sono pure (ed indipendentemente uno dall'altro9) della stessa identica idea sbagliata, idea radicalmente diversa da quella giusta che è la tua!
Caro MaxVag, ti faccio una dichiarazione contenente una precisa affermazione in ambito "cinematico"; e ti prego di chiedere al massimo luminare che conosci in fatto di competenza in ambuto "cinematico"" se la mia affermazione è giusta o sbagliata.
«Sia $Γ_1$ la traiettoria di un punto A in moto rispetto ad un riferimento rigido (che chiamo Rif_1); e sia $Γ_2$ la traiettoria dello stesso punto rispetto ad un altro riferimento rigido (che chiamo Rif_2) nel quale i punti fermi sono fermi anche in Rif_1. Dichiaro che le due traiettorie $Γ_1$ e $Γ_2$ sono congruenti (come si diceva universalmente ai miei tempi; alias sono "isometriche" come si usa dire più recentemente dei miei tempi!)
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Riassumendo ...
Su un diametro – diciamo di estremi M ed N – d'una circonferenza di raggio R e centro O prendo un punto interno al segmento di estremi O ed M e lo chiamo B. Ovviamente è 0 < r < R. Il punti M ed N (diametralmente opposti sulla circonferenza ed allineati con B) distano da B rispettivamente $R-r$ ed $R+r$. Ogni altro punto della circonferenza dista da B più di $R-r$ e meno di $R+r$.
Sia A un punto della circonferenza. Detto α l'angolo di vertice O e lati OA e OB, con Carnot trovo che la lunghezza del segmento di estremi A e B – lasciatemela indicare AB dato che non mi ricordo mai come si fa a sopralineare invece di sottolineare – vale:
AB $=sqrt(R^2 + r^2 - 2Rrcos(α))$. (*)
Una circonferenza [di cerchio] è il luogo dei punti [di un piano] equidistanti da un punto fisso detto "centro".
Ovviamente, tutti i punti di una circonferenza sono equidistanti da UN punto (uno solo!) complanare con quella circonferenza. Epperò (come soleva dire il famigerato Giuseppe Scorza Dragoni) NON sono equidistanti da un altro punto complanare diverso dal centro.
Toh che per MaxVag, il fatto che, al variare del punto sulla circonferenza, vari la distanza di questo da un punto fisso B che non è il centro O (dato che dista dal centro r > 0) è premessa per domandarsi (e domandarci) quale curva sia mai quel luogo di punti tutti distanti R da O, rispetto ad un punto fisso B eccentrico distante r da O (con 0 < r < R).
E adesso, occhio al sofisticato "barbatrucco" di MaxVag che trasforma la circonferenza in una ellisse col solo spostare l'origine del riferimento da O a B.
Per comodità di scrittura chiamiamo $a$ la massima distanza $R+r$ di A da B e $b$ la minima distanza $R-r$.
Allora è $R = (a+b)/2$ e $r = (a-b)/2$; e la distanza AB data in (*) diventa:
AB $=sqrt((a+b)^2/4 + (a-b)^2/4- (a^2-b^2)/2cos(α))$ = $sqrt(a^2·(1-cos(α))/2 + b^2·(1+cos(α))/2$ =
= $sqrt(a^2·sin^2(α/2)+ b^2·cos^2(α/2))$.
Se ora poniamo:
$φ=α/2$; $x= a·sin(φ)$ e $y = b·cos(φ)$
scopriamo che nell'ellisse di equzioni parametriche
$x= a·sin(φ)$ ∧ $y = b·cos(φ)$
ossia di equazione cartesiana
$x^2/a^2+y^2/b^2 =1$
la distanza dal centro di un punto di anomalia $(π-α)/2$ è proprio uguale ad AB.
Caro MaxVag, Il fatto che in una ellisse di diametro massimo 2(R+r) e diametro minimo 2(R–r) la distanza dal centro di un punto che si muove sull'ellisse vari come varia la dsistanza di un punto che gira su una circonferenza di raggio R da un punto distante r dal centro ... è una bella scoperta (alla quale non avevo mai pensato prima d'ora ... e forse nemmeno giammaria e nemmeno axpgn). Ma tra questo ed il fatto che rispetto al punto eccentrico B la circonferenza si trasformi miracolosamente in una ellisse c'è ancora un abisso!
Tu questo abisso l'hai superato a testa alta e ad occhi chiusi con un solo passo. Bravo!
Per tutti noi, poveri cristi, quell'abisso resta invalicabile!
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Adesso, però, apri gli occhi e domandati come fa il punto A a fare solo mezzo giro sull'ellisse di centro B mentre fa un giro intero sulla circonferenza di centro O.
Insomma: come mai sulla circonferenza unico è il punto a massima distanza da B (ed unico quello a minima distanza) ed invece sulla tua ellisse ce ne sono due?
Ciao ciao!
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Mi viene in mente una osservazione che fino ad ora non m'era venuta in mente!
Il titolo di questo thread è: «Taiettoria di due punti nel piano».
Mi sto chiedendo «Perché "Traiettoria di DUE punti?». Nel quiz ci sono in ballo due punti, A e B. Ma mentre A gira su una circonferenza B se ne sta fermo impalato!
Boh: non capisco perché Traiettoria [una sola] è "di due punti".
_____________
Ma sono rientrato nel thread per rilanciare!
Ossia: ispirato dal testo proposto da MaxVag, con qualche piccola precisazione aggiuntiva fabbrico un quiz di cinematica (in verità abbastanza facile dopo la ... controversia tra "traiettoria di A circolare rispetto ad O ed invece ellittica rispetto a B" (MaxVag) e "traiettoria circolare anche rispetto a B" (giammaria, Erasmus_first e axpgn) e lo metto qua.
In un piano, rispetto al riferimento cartesiano (ortogonale e monometrico) O(x,y) un punto mobile (che chiamo A) si muove sulla circonferenza γ di centro O(0,0) e raggio R, cioè di equazione cartesiana:
γ: $x^2 + y^2 = R^2$ .
Chiamo M il punto di coordinate $(x, y) = (R, 0)$ e $α$ l'ampiezza dell'angolo di vertice O e lati OM e OA.
Pertanto le coordinate cartesiane di A sono
$x = Rcos(α)$ e $y = Rsin(α)$.
Naturalmente $α$ è funzione del tempo t. E supponiamo che sia $α=0$ quando è $t=0$.
Sia nota la legge oraria della velocità angolare del moto circolare di A. sia cioè nota la funzione:
$ω(t) = (dα)/(dt)$.
Sia B il punto di coordinate $(r, 0)$ con $0 < r < R$.
Si consideri nello stesso piano un altro riferimento cartesiano (rigido, ortogonale e monometrico) di origine B e coordinate $(X,Y)$ e si supponga che invece di essere fisso sia girevole attorno alla sua origine B.
Se, mentre A rispetto al riferimento $O(x, y$ si muove sulla circonferenza γ, il riferimento $B(X, Y)$ non sta fermo ma gira [rispetto a $O(x, y)$] attorno alla sua origine B, la traiettoria di A rispetto al riferimento girevole $B(X, Y)$ è una curva che dipende anche dal moto rotatorio del riferimento $B(X, Y)$ rispetto al riferimento $O(x, y)$.
Ecco la domanda (nella quale i simboli sono quelli precedentemente definiti):
[size=120]«Nota la legge oraria $ω(t)$ della velocità angolare del moto di A rispetto a $O(x.y)$ sulla circonferenza γ di equazione
γ: $x^2 + y^2 = R^2$
qual è la legge oraria della velocità angolare con cui deve girare il riferimento $B(X, Y)$ attorno a B rispetto al riferimento $O(x, y)$ affinché rispetto al riferimento $B(X,Y)$ il punto mobile A si muova sull'ellisse ε di equazione cartesiana:
ε: $X^2/(R-r)^2 + Y^2/(R+r)^2 = 1$ ?[/size]
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Il titolo di questo thread è: «Taiettoria di due punti nel piano».
Mi sto chiedendo «Perché "Traiettoria di DUE punti?». Nel quiz ci sono in ballo due punti, A e B. Ma mentre A gira su una circonferenza B se ne sta fermo impalato!
Boh: non capisco perché Traiettoria [una sola] è "di due punti".
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Ma sono rientrato nel thread per rilanciare!
Ossia: ispirato dal testo proposto da MaxVag, con qualche piccola precisazione aggiuntiva fabbrico un quiz di cinematica (in verità abbastanza facile dopo la ... controversia tra "traiettoria di A circolare rispetto ad O ed invece ellittica rispetto a B" (MaxVag) e "traiettoria circolare anche rispetto a B" (giammaria, Erasmus_first e axpgn) e lo metto qua.
In un piano, rispetto al riferimento cartesiano (ortogonale e monometrico) O(x,y) un punto mobile (che chiamo A) si muove sulla circonferenza γ di centro O(0,0) e raggio R, cioè di equazione cartesiana:
γ: $x^2 + y^2 = R^2$ .
Chiamo M il punto di coordinate $(x, y) = (R, 0)$ e $α$ l'ampiezza dell'angolo di vertice O e lati OM e OA.
Pertanto le coordinate cartesiane di A sono
$x = Rcos(α)$ e $y = Rsin(α)$.
Naturalmente $α$ è funzione del tempo t. E supponiamo che sia $α=0$ quando è $t=0$.
Sia nota la legge oraria della velocità angolare del moto circolare di A. sia cioè nota la funzione:
$ω(t) = (dα)/(dt)$.
Sia B il punto di coordinate $(r, 0)$ con $0 < r < R$.
Si consideri nello stesso piano un altro riferimento cartesiano (rigido, ortogonale e monometrico) di origine B e coordinate $(X,Y)$ e si supponga che invece di essere fisso sia girevole attorno alla sua origine B.
Se, mentre A rispetto al riferimento $O(x, y$ si muove sulla circonferenza γ, il riferimento $B(X, Y)$ non sta fermo ma gira [rispetto a $O(x, y)$] attorno alla sua origine B, la traiettoria di A rispetto al riferimento girevole $B(X, Y)$ è una curva che dipende anche dal moto rotatorio del riferimento $B(X, Y)$ rispetto al riferimento $O(x, y)$.
Ecco la domanda (nella quale i simboli sono quelli precedentemente definiti):
[size=120]«Nota la legge oraria $ω(t)$ della velocità angolare del moto di A rispetto a $O(x.y)$ sulla circonferenza γ di equazione
γ: $x^2 + y^2 = R^2$
qual è la legge oraria della velocità angolare con cui deve girare il riferimento $B(X, Y)$ attorno a B rispetto al riferimento $O(x, y)$ affinché rispetto al riferimento $B(X,Y)$ il punto mobile A si muova sull'ellisse ε di equazione cartesiana:
ε: $X^2/(R-r)^2 + Y^2/(R+r)^2 = 1$ ?[/size]
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