Traiettoria di due punti nel piano
Posto su un piano un riferimento cartesiano di centro O intorno al quale il punto A ruota con distanza 227,9 (Circonferenza) mentre un altro punto, B è fisso con distanza 21,2 da O.
La distanza AB è data da Carnot, mediante l’angolo α, tra OA e OB.
\( \overline{AB^2}=\overline{OA^2}+\overline{OB^2}-2\ \overline{OA}\ \overline{OB} \cos \alpha \)
Si indicano alcuni valori (a caso) di AB:
Tabella delle distanze AB in funzione di α°
Dalla formula e dai dati AB della tabella, racchiusi tra un dato massimo ed uno minimo, determinare qual’è il luogo descritto (traiettoria) da A rispetto a B?
La distanza AB è data da Carnot, mediante l’angolo α, tra OA e OB.
\( \overline{AB^2}=\overline{OA^2}+\overline{OB^2}-2\ \overline{OA}\ \overline{OB} \cos \alpha \)
Si indicano alcuni valori (a caso) di AB:
Tabella delle distanze AB in funzione di α°
| α° | \(AB^2\) | AB |
| 42.724,54 | 206,699=206,7 | 35,3° |
| 210,953 | 105,15° | 54.912,885 |
| 180° | 62.050,81 | 249,099=249,1 |
| 61.792,451 | 248,580 | 270° |
Dalla formula e dai dati AB della tabella, racchiusi tra un dato massimo ed uno minimo, determinare qual’è il luogo descritto (traiettoria) da A rispetto a B?
Risposte
giammaria non ho più sentito la tua voce. Qualcuno dice perché ti ho offeso: sbaglia. Ecco il mio pensiero:
Un uomo e' tale per le cose che pensa, non per i suoi titoli!
o come diceva Descartes “cogito ergo sum”
Per Erasmus.
Velocità angolare sulla circonferenza \(\frac{d\alpha}{dt}=\omega\)
Velocità angolare sull’ellisse \( \frac{d \alpha/2}{dt}=\omega’\quad \omega’=2\omega\)
che giustifica la velocità areale doppia sulla circonferenza: questo tuttavia non fa parte del problema proposto, se vuoi proporre un nuovo argomento fallo e tutti risponderanno, ma se su un argomento ne aggiungi altri non è una soluzione.
Riassumiamo: il punto A ruota intorno al centro O e B è un punto fisso interno alla circonferenza. Abbiamo la distanza AB applicando Carnot e i dati (come esempio) della tabella: quale è la traiettoria di A rispetto a B?
giammaria con la sua equazione ha indicato una circonferenza ottenuta a seguito di una traslazione. Giusta ma non rientra nella richiesta perché il risultato dà AB=R e O coincidente con B.
Io ho indicato essere una ellisse (potremo vedere in seguito perché) se qualcuno riesce a trovare un’altra traiettoria (curva) come ad esempio una iperbole, parabola, conica o altro, avremo altri confronti. Se siete d’accordo con l’ellisse proseguirò sulla ipotesi e mi aiuterete a risolvere un dubbio che ha 400 anni di età.
Ringrazio TUTTI per la collaborazione. Ciao M.V.
Un uomo e' tale per le cose che pensa, non per i suoi titoli!
o come diceva Descartes “cogito ergo sum”
Per Erasmus.
Velocità angolare sulla circonferenza \(\frac{d\alpha}{dt}=\omega\)
Velocità angolare sull’ellisse \( \frac{d \alpha/2}{dt}=\omega’\quad \omega’=2\omega\)
che giustifica la velocità areale doppia sulla circonferenza: questo tuttavia non fa parte del problema proposto, se vuoi proporre un nuovo argomento fallo e tutti risponderanno, ma se su un argomento ne aggiungi altri non è una soluzione.
Riassumiamo: il punto A ruota intorno al centro O e B è un punto fisso interno alla circonferenza. Abbiamo la distanza AB applicando Carnot e i dati (come esempio) della tabella: quale è la traiettoria di A rispetto a B?
giammaria con la sua equazione ha indicato una circonferenza ottenuta a seguito di una traslazione. Giusta ma non rientra nella richiesta perché il risultato dà AB=R e O coincidente con B.
Io ho indicato essere una ellisse (potremo vedere in seguito perché) se qualcuno riesce a trovare un’altra traiettoria (curva) come ad esempio una iperbole, parabola, conica o altro, avremo altri confronti. Se siete d’accordo con l’ellisse proseguirò sulla ipotesi e mi aiuterete a risolvere un dubbio che ha 400 anni di età.
Ringrazio TUTTI per la collaborazione. Ciao M.V.
Cos'è la "traiettoria" per te? Perché il nodo della questione è questo ...
Per quel poco che ne so io, la traiettoria è l'insieme delle posizioni che il punto assume in un dato Sistema di Riferimento col trascorrere del tempo; concordi su questo?
Usando questa definizione se il SdR è solidale con $B$ la traiettoria di $A$ è la circonferenza nera (se il SdR è solidale con $A$ allora la circonferenza rossa è la traiettoria di $B$).
Escluso il centro, tutti i punti interni ad una circonferenza hanno una distanza variabile da questa ma non mi pare che nessuno la chiami "ellisse" ...
Cordialmente, Alex
Per quel poco che ne so io, la traiettoria è l'insieme delle posizioni che il punto assume in un dato Sistema di Riferimento col trascorrere del tempo; concordi su questo?
Usando questa definizione se il SdR è solidale con $B$ la traiettoria di $A$ è la circonferenza nera (se il SdR è solidale con $A$ allora la circonferenza rossa è la traiettoria di $B$).
Escluso il centro, tutti i punti interni ad una circonferenza hanno una distanza variabile da questa ma non mi pare che nessuno la chiami "ellisse" ...
Cordialmente, Alex
@ MaxVag
Ho effettivamente storto il naso davanti alla tua frase, ma non mi offendo facilmente e per dimostrartelo mando ancora questa mail. E' però l'ultima perché ho esaurito le mie capacità di spiegazione: o sei d'accordo con me o non riuscirò mai a convincerti. Se vorrai continuare ti risponderanno altri; a scanso di equivoci, ti consiglio però di precisare dove poni l'origine e quale pensi che sia il centro dell'ellisse.
Credo che la chiave sia proprio il tuo concetto di traiettoria e ti invito a riflettere sull'ultimo intervento di axpgn; mando anche tre dimostrazioni del fatto che sbagli. Sono indipendenti fra loro; spero che almeno una ti persuada.
1) Sapendo che le equazioni parametriche del punto A(x,y) sono
${(x=b cos frac alpha 2),(y=a sin frac alpha 2):}$
e detta O l'origine puoi effettivamente concludere che
$AO=sqrt(x^2+y^2)=sqrt(b^2 cos^2 frac alpha 2+a^2 sin^2 frac alpha 2)$
Invece non è lecito il calcolo inverso (cioè ricavare le parametriche dalla formula di AO) perché da una sola formula non puoi ricavarne due.
2) Anche ammettendo che il calcolo inverso sia lecito, la formula precedente richiede la distanza fra A e l'origine; se B non è l'origine, la formula per AB non c'entra niente. E' come se tu dicessi "2 più 2 fa 4, quindi Roma è la capitale della Francia".
3) In base al testo del problema, quando $alpha=180°$ il punto A sta sull'asse x. Verifichiamolo con le tue formule:
${(x=bcos90°=0),(y=a sin90°=a=R+r):}=>A(0,R+r)$
quindi A è sull'asse y. Come può essere in due posizioni diverse?
Anche scambiando fra loro le formule per x,y, il problema resta (la x ricavata dal testo è negativa, mentre quella delle tue parametriche è positiva); non scrivo formule solo perché dipendono dalla posizione dell'origine. Prova anche con $alpha=90°$: troverai comunque due diverse posizioni di A.
Ho effettivamente storto il naso davanti alla tua frase, ma non mi offendo facilmente e per dimostrartelo mando ancora questa mail. E' però l'ultima perché ho esaurito le mie capacità di spiegazione: o sei d'accordo con me o non riuscirò mai a convincerti. Se vorrai continuare ti risponderanno altri; a scanso di equivoci, ti consiglio però di precisare dove poni l'origine e quale pensi che sia il centro dell'ellisse.
Credo che la chiave sia proprio il tuo concetto di traiettoria e ti invito a riflettere sull'ultimo intervento di axpgn; mando anche tre dimostrazioni del fatto che sbagli. Sono indipendenti fra loro; spero che almeno una ti persuada.
1) Sapendo che le equazioni parametriche del punto A(x,y) sono
${(x=b cos frac alpha 2),(y=a sin frac alpha 2):}$
e detta O l'origine puoi effettivamente concludere che
$AO=sqrt(x^2+y^2)=sqrt(b^2 cos^2 frac alpha 2+a^2 sin^2 frac alpha 2)$
Invece non è lecito il calcolo inverso (cioè ricavare le parametriche dalla formula di AO) perché da una sola formula non puoi ricavarne due.
2) Anche ammettendo che il calcolo inverso sia lecito, la formula precedente richiede la distanza fra A e l'origine; se B non è l'origine, la formula per AB non c'entra niente. E' come se tu dicessi "2 più 2 fa 4, quindi Roma è la capitale della Francia".
3) In base al testo del problema, quando $alpha=180°$ il punto A sta sull'asse x. Verifichiamolo con le tue formule:
${(x=bcos90°=0),(y=a sin90°=a=R+r):}=>A(0,R+r)$
quindi A è sull'asse y. Come può essere in due posizioni diverse?
Anche scambiando fra loro le formule per x,y, il problema resta (la x ricavata dal testo è negativa, mentre quella delle tue parametriche è positiva); non scrivo formule solo perché dipendono dalla posizione dell'origine. Prova anche con $alpha=90°$: troverai comunque due diverse posizioni di A.
"axpgn":
la traiettoria è l'insieme delle posizioni che il punto assume in un dato Sistema di Riferimento col trascorrere del tempo; concordi su questo?
puoi anche aggiungere:
"axpgn":
la traiettoria è l'insieme delle posizioni che il punto assume rispetto ad un altro punto in un dato Sistema di Riferimento col trascorrere del tempo; concordi su questo?
"axpgn":Possiamo chiamarlo io e te se ce lo siamo dimostrato.
Escluso il centro, tutti i punti interni ad una circonferenza hanno una distanza variabile da questa ma non mi pare che nessuno la chiami "ellisse" ..
A TUTTI: tra una domanda e l'altra aspettate la risposta: voi siete tanti io sono solo.
Ciao: M.V.
L'aggiunta in blu che hai fatto non è necessaria; per fare ciò ti basta prendere un SdR solidale con questo secondo punto.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
giammaria aiutami a vedere dove sbaglio:
mediante la formula di Carnot ricavo i valori di AB, fin qui credo tutto bene. Dai valori di AB e non dai valori di AO, sviluppando Carnot, ottengo una ellisse.
La tua 1) osservazione è giusta! però attenzione tu scrivi AO io invece AB, cioè prendo implicitamente come centro di riferimento B, in quanto Carnot mi dà le distanze da A a B: infatti la richiesta è di un moto di A rispetto a B (fisso), non di A rispetto ad O, che già mi è dato come raggio. Questo credo che sia il motivo del fraintendere.
Debbo solo dedurre che ho posto in modo poco chiaro il problema.
Inoltre la tua 2) e 3) in base a questa delucidazione dovrebbero rientrare.
Dimmi se finalmente concordiamo, perchè non è possibile che sia diversamente.
Ciao M.V.
mediante la formula di Carnot ricavo i valori di AB, fin qui credo tutto bene. Dai valori di AB e non dai valori di AO, sviluppando Carnot, ottengo una ellisse.
La tua 1) osservazione è giusta! però attenzione tu scrivi AO io invece AB, cioè prendo implicitamente come centro di riferimento B, in quanto Carnot mi dà le distanze da A a B: infatti la richiesta è di un moto di A rispetto a B (fisso), non di A rispetto ad O, che già mi è dato come raggio. Questo credo che sia il motivo del fraintendere.
Debbo solo dedurre che ho posto in modo poco chiaro il problema.
Inoltre la tua 2) e 3) in base a questa delucidazione dovrebbero rientrare.
Dimmi se finalmente concordiamo, perchè non è possibile che sia diversamente.
Ciao M.V.
Ti avevo chiesto di indicare bene dove sono l'origine ed il centro dell'ellisse; non l'hai fatto e debbo tirare ad indovinare.
Mi pare di capire che l'origine è O e si ha $B(r,0)$; allora dalle parametriche ricavo
$AB=sqrt((x-r)^2+y^2)=sqrt((bcos frac alpha 2-r)^2+a^2 sin^2 frac alpha 2)$
e non quella che ho scritto, che vale solo se consideriamo la distanza dall'origine.
Questo risponde all'obiezione sul mio punto 2: occorre pensare che l'origine sia B.
Il punto 1 dice solo che non è lecito invertire il ragionamento.
Il punto 3 è poi tutt'altra cosa. Scegli il sistema di riferimento che preferisci e, scelti degli $alpha$ a piacere, trova in esso le coordinate di A. Fallo sia con i dati iniziali che con le tue formule; vedrai che i risultati non coincidono. Lo farei io, ma non so dove, secondo te, sta il centro dell'ellisse.
Non ho mantenuto la parola di non scriverti più e ne approfitto per commentare la tua risposta ad axpgn.
Possiamo chiamarlo io e te se ce lo siamo dimostrato.[/quote]
In altre parole: "Almeno nel nostro caso, se sappiamo che una curva è una circonferenza, possiamo dimostrare che non lo è". Veramente notevole.
Mi pare di capire che l'origine è O e si ha $B(r,0)$; allora dalle parametriche ricavo
$AB=sqrt((x-r)^2+y^2)=sqrt((bcos frac alpha 2-r)^2+a^2 sin^2 frac alpha 2)$
e non quella che ho scritto, che vale solo se consideriamo la distanza dall'origine.
Questo risponde all'obiezione sul mio punto 2: occorre pensare che l'origine sia B.
Il punto 1 dice solo che non è lecito invertire il ragionamento.
Il punto 3 è poi tutt'altra cosa. Scegli il sistema di riferimento che preferisci e, scelti degli $alpha$ a piacere, trova in esso le coordinate di A. Fallo sia con i dati iniziali che con le tue formule; vedrai che i risultati non coincidono. Lo farei io, ma non so dove, secondo te, sta il centro dell'ellisse.
Non ho mantenuto la parola di non scriverti più e ne approfitto per commentare la tua risposta ad axpgn.
[quote]axpgn ha scritto:
Escluso il centro, tutti i punti interni ad una circonferenza hanno una distanza variabile da questa ma non mi pare che nessuno la chiami "ellisse" ..
Possiamo chiamarlo io e te se ce lo siamo dimostrato.[/quote]
In altre parole: "Almeno nel nostro caso, se sappiamo che una curva è una circonferenza, possiamo dimostrare che non lo è". Veramente notevole.
"MaxVag":Occhio! La seconda equazione (per essere equivalente alla prima) è $ω'=1/2ω$ (oppure $ω = 2ω'$)
[...]Per Erasmus.
Velocità angolare sulla circonferenza \(\frac{d\alpha}{dt}=\omega\)
Velocità angolare sull’ellisse \( \frac{d \alpha/2}{dt}=\omega’\quad \omega’=2\omega\)
"MaxVag":
... che giustifica la velocità areale doppia sulla circonferenza
Che c'entra la velocità areale? Non c'entra! Comunque, mentre in un moto circolare la velocità areale è proporzionale alla velocità angolare, nel moto ellittico non è così! Se fosse così, siccome (secondo Kepler) la velocità areale della Terra nel moto di rivoluzione attorno al Sole è costante, sarebbe costante anche la velocità agolare del raggio Sole–Terra. Ed essendo la Terra più vicina al Sole in perielio che in afelio, se la velocità angolare fosse costante la Terra si sposterebbe sull'eclittica a velocità minima in perielio e massima in afelio; e invece succede il contrario: la velocità è massima in perielio e minima in afelio. [Detta $v_p$ la velocità terrestre in perielio, $v_a$ quella in afelio ed $e$ l'eccentricità, con un elementare calcolo della velocità areale in funzione della velocità e della distanza dal Sole si trova $v_p = v_a(1+e)/(1-e)$.
Nemmeno la velocità areale media è doppia sulla circonferenza di quella sull'ellise!
Se $ω$ è la velocità angolare del moto circolare di raggio $R$ e se è costante (oopure è quella media), cioè se il periodo è $T = (2π)/ω$, la velocità areale è $πR^2/T = 1/2ωR^2$. Siccome l'area della tua ellisse è $π(R^" - r^2)$, se la velocità angolare bel modo ellittico è $ω'$ ed è costante (ossia se il periodo è $(2π)/(ω')$). la velocità areale media è
$ω'((R^2 -r^2))/2$.
-----------------
Credevo che tu avessi risposto giusto [al mio nuovo quiz] perché finalmente avevi capito che è rispetto ad un riferimento rigido di origine B girevole ... che non sta fermo durante il moto di A che la traiettoria di A risulta una curva non congruente con la traiettoria di A rispetto al vecchio sistema dii riferimento. Ma da quel che dici .... o non hai ancora capito (oppure ... fingi di non aver capito per non ammettere la cantonata che hai preso sostenendo quello che hai sostenuto fino ad ora.
Cerchiamo, però, di metterci d'accordo sul vocabolario, se no l'incomprensione sarà inevitabile!
L'espressione "traiettoria rispetto a B", ad essere pignoli, non si può capire cosa significa perché la frasem così com'è, non ha senso! Una traiettoria è una curva rispetto ad un precisio sistema di riferimento, il quale non è definito da un punto, ma da un sistema di coordinate sufficiente a dare la posizione di ogni punto qualunque.
Nell'usuale linguaggio (italiano) della Fisica, è parlando della posizione di un punto che volte si usa la dizione "rispetto a" (un altro punto). In tal caso è sottinteso che il sistema di riferimento è lo stesso per entrambi i punti. Per esempio, se $A$ e $B$ rispetto ad un medesimo riferimeno cartesiano hanno posizioni rispettive
p[size=85]A[/size] = $[x_A, y_A]$; p[size=85]B[/size] = $[x_B, y_B]$,
dicendo "la posizione di A rispetto a B" si intende la differenza
p[size=85]A[/size] – p[size=85]B[/size] = $[x_A, y_A] – [x_B, y_B] = [x_A–x_B, y_A - x_B]$.
E questa è ovviamente la posizione di A rispetto ad un riferimento di origine B ottenuto dal precedente per sola traslazione, ossia senza modificare l'orientamento delle coordinate.
____
Erasmus non è per cattiva educazione, le cose che dici, possono essere discusse. Se tu proponi altre problematiche non si arriverà mai a conclusione: potremo discutere le cose che dici in un secondo momento. Ciao M.V.
giammaria, scusa il ritardo. Resisti perché ho l’impressione che stiamo dicendo le stesse cose.
1) nel riferimento SdR1 (grazie axpgn) di centro O ho un punto A che si muove secondo una conica (nel nostro caso una circonferenza). In questo SdR1 è dato un punto fermo B (non in O).
E’ lecito chiedersi: Il punto A ha traiettoria circolare per O ma quale curva (traiettoria) ha rispetto a B?
2) Posso affermare che in SdR1 il moto di A rispetto a B non può essere una circonferenza?
Inoltre i valori in SdR1 sono A=(Rcosα,Rsinα) e mediante Carnot le distanze AB.
3) Su un foglio a parte traccio un SdR2 con B coincidente con il centro O’ di questo riferimento, e un punto A’ tale che le distanze O’A’=AB e dove A’ è il riflesso di A in SdR2.
Sviluppando \(\overline {AB}=\overline{O’A’}=\sqrt{\overline {OA^2}+\overline {OB^2}-2\overline{OA}\ \overline{OB} \cosα}= \sqrt{(R-r)^2 \cos^2α/2+(R+r)^2\sin^2α/2}\\\) otterrò in SdR2 una ellisse per \( A’=((R-r)\cosα/2;(R+r)\sinα/2) \\\)
La domanda è: posso con la considerazione in 3) di SdR2 dire che A ha traiettoria ellittica rispetto a B anche in SdR1?
giammaria spero di aver analizzato ed applicato bene le tue osservazioni.
Ciao. M.V.
giammaria, volevo aggiungere che nell'applet che ha titolo "Il Teorema dei Pianeti", visto precedentemente, mostro graficamente ciò che ho esposto qui sopra.
1) nel riferimento SdR1 (grazie axpgn) di centro O ho un punto A che si muove secondo una conica (nel nostro caso una circonferenza). In questo SdR1 è dato un punto fermo B (non in O).
E’ lecito chiedersi: Il punto A ha traiettoria circolare per O ma quale curva (traiettoria) ha rispetto a B?
2) Posso affermare che in SdR1 il moto di A rispetto a B non può essere una circonferenza?
Inoltre i valori in SdR1 sono A=(Rcosα,Rsinα) e mediante Carnot le distanze AB.
3) Su un foglio a parte traccio un SdR2 con B coincidente con il centro O’ di questo riferimento, e un punto A’ tale che le distanze O’A’=AB e dove A’ è il riflesso di A in SdR2.
Sviluppando \(\overline {AB}=\overline{O’A’}=\sqrt{\overline {OA^2}+\overline {OB^2}-2\overline{OA}\ \overline{OB} \cosα}= \sqrt{(R-r)^2 \cos^2α/2+(R+r)^2\sin^2α/2}\\\) otterrò in SdR2 una ellisse per \( A’=((R-r)\cosα/2;(R+r)\sinα/2) \\\)
La domanda è: posso con la considerazione in 3) di SdR2 dire che A ha traiettoria ellittica rispetto a B anche in SdR1?
giammaria spero di aver analizzato ed applicato bene le tue osservazioni.
Ciao. M.V.
giammaria, volevo aggiungere che nell'applet che ha titolo "Il Teorema dei Pianeti", visto precedentemente, mostro graficamente ciò che ho esposto qui sopra.
[ot]
Io ho detto che la tua risposta («ti posso assicurare che la terza elementare l’ho fatta con profitto») alla domanda di giammaria («che classe frequenti?») è stupida e intrinsecamente offensiva. Nessuno ha detto altro prima di questo tuo commento . A sbaglare, dunque, ora sei tu (che riporti come accaduto ciò che non c'è mai stato).
Ciao, MaxVag. Ciao a tutti[/ot]
"MaxVag":Occhio, prego, MaxVag: «Pane al pane e vino al vino» E no a «fischi per fiaschi»!
giammaria non ho più sentito la tua voce. Qualcuno dice perché ti ho offeso: sbaglia.
Io ho detto che la tua risposta («ti posso assicurare che la terza elementare l’ho fatta con profitto») alla domanda di giammaria («che classe frequenti?») è stupida e intrinsecamente offensiva. Nessuno ha detto altro prima di questo tuo commento . A sbaglare, dunque, ora sei tu (che riporti come accaduto ciò che non c'è mai stato).
Ciao, MaxVag. Ciao a tutti[/ot]
"MaxVag":L'ha già fatto ripetutamente a partire da qua:
[...] giammaria aiutami a vedere dove sbaglio[...]
"giammaria":E anche axpgn ha cercato di farti capire dove sbagli.
[...]L'errore sta nel fatto che dal solo
$bar(AB)=sqrt([f(alpha)]^2+[g(alpha)]^2)$
non si può dedurre
${(x=f(alpha)),(y=g(alpha)):}$
Occorre anche qualche altro ragionamento.
E io ho fatto anche di più: ho fatto apposta quel "qualche altro ragionamento" che giammaria ti diceva necessario.
"Rilanciando", ossia con un metodo che voleva essere socratico, siamo arrivati a stabilire come deve essere il riferimento di origine B affinché quel moto circolare in un riferimento solidale con l'osservatore diventi ellittico {e proprio con diametri massimo e diametro minimo 2a = 2(R+r) e 2b = 2(R-r)}.
Ma tu, probabilmente senza rilevare la sostanza del mio nuovo quiz, mi hai consigliato di trasferirlo altrove (magari in un thraed apposito). E invece è proprio QUI il suo posto! Sì, proprio qui perché ... oltre a dirti dove sbagli, ti corregge l'errore!
Ma mi pare impossibile che tu non capisca dove è che sbagli! Non sono più sicuro che non hai ancora capito e penso che forse fingi di non aver capito!
"Spes ultima dea!"
Provo a ripeterlo (per l'ultima volta.
Adotto la sigla SdR (introdotta da axpgn ed usata anche da te) per intendere "Sistema di Riferimento".
Due sistemi distinti di riferimento SdR1 e SdR2 siano tali che i punti che sono fermi in SdR1 sono pure fermi in SdR2.
Allora se un punto mobile A descrive una certa traiettoria rispetto ad SdR1, la traiettoria descritta da A rispetto ad SdR2 è CONGRUENTE con quella descitta rispetto ad SdR1.
Perché le due traiettorie siano non concgruenti (per esempio una circolare e l'altra ellittica, tanto per restare nella questione ibn coeso) ooccore che i due sistemi di riferimento SdR1 ed SdR2 siano in moto relativo uno rispetto all'altro; ossia che i punti che sono fermi in un sistema non siano fermi nell'altro e viceversa (tranne eventualmente un punto solo – se siamo in due dimensioni – o tutti i punti di una retta fissa – se siamo in tre dimensionii– nel caso in cui un sistema abbia, rispetto all'altro, un moto rotatorio puro (attorno ad un punto fisso se siamo in due dimensioni, attorno ad un asse fisso se siamo in tre dimensioni).
––––––––––––––––
Ieri ho ... lavorato parecchio per costruire due immagini che spero siano eloquenti!
La prima va pensata come una successiione di scatti fotografici messi poi sovrapposti.
la seconda dovrebbe essere più chiara: è una sola istantanea. Ma occorre immaginare che in altri istanti precedenti (discreti ed equispaziati) il punto mobile A abbia "marchiato" l'ellisse lasciandoci alcune impronte!
Per chiarezza, ho segnato in rosso le posizioni di A rispetto al riferimento nel quale ha un moto circolare (e tutto quanto si riferisce a questo SdR1) ed in blu le posizioni dello stesso A nel mpto rispetto al riferimento SdR2 che gira attorno al punto B alla velocità angolare metà di quella con cui gira A attorno ad O .
Ecco la prima immagine.
Ed ecco la seconda.
_______
@ MaxVag
Hai già avuto una risposta esauriente da Erasmus_First; vi aggiungo la mia per spiegarti i tre punti della mia ultima mail.
Un passo avanti è già stato fatto per merito di axpgn: siamo passati dal nebuloso "rispetto a B" ai due sistemi di riferimento.
Il punto 2 significava solo che i calcoli vanno fatti in SdR2: scegliendo questo sistema, il punto 2 cade.
Resta però il punto 1, che hai frainteso: con la lettera O indicavo l'origine di SdR2, cioè il punto che tu chiami O' o B.
Per spiegarti il punto 1, ricorro ad un esempio.
In un problema diverso dal nostro, so che $x=t+2; y=2t-3$ e ne deduco $x+y=3t-1$: fin qui tutto bene. Proviamo però ad invertire il problema: sapendo che $x+y=3t-1$, non possiamo dedurne le formule iniziali, che potrebbero valere ma potrebbero anche essere sostituite da infinite altre.
Lo stesso vale nel nostro problema: sapendo le tue formule parametriche, possiamo dedurne la giusta formula per AB, ma sapendo la formula di AB non possiamo dedurne le tue parametriche perché da una sola equazione non possiamo dedurne due.
Di particolare importanza è poi il punto 3. Credo che tu sappia che in presenza di due sistemi di riferimento esistono formule che permettono di passare rapidamente dalle coordinate in uno dei due sistemi a quelle nell'altro; nel nostro caso, indicando con $(x,y)$ le coordinate in SdR1 e con $(X,Y)$ quelle in SdR2, le formule sono
${(X=x-r),(Y=y):} hArr {(x=X+r),(y=Y):}$
In SdR2 la formule parametriche di A' sono quindi
${(X=x-r=Rcos alpha-r),(Y=y=Rsin alpha):}$
ben diverse la quelle che tu proponi, e cioè
${(X=(R-r)cos frac alpha 2),(Y=(R+r)sin frac alpha 2):}$
Per $alpha=0$ i due gruppi di formule danno lo stesso risultato, ma in generale non è così.
Aggiungo una riflessione sul tuo punto 3, in cui dici
Anche in SdR2 vale il fatto che A' dista R da O ed è ruotato di $alpha$ rispetto all'asse delle ascisse; se sovrappongo i due fogli facendo coincidere O' con B, A' risulta sovrapposto ad A. Questo vale per ogni $alpha$, quindi la traiettoria di A' è sovrapposta a quella di A e pertanto è circolare.
Hai già avuto una risposta esauriente da Erasmus_First; vi aggiungo la mia per spiegarti i tre punti della mia ultima mail.
Un passo avanti è già stato fatto per merito di axpgn: siamo passati dal nebuloso "rispetto a B" ai due sistemi di riferimento.
Il punto 2 significava solo che i calcoli vanno fatti in SdR2: scegliendo questo sistema, il punto 2 cade.
Resta però il punto 1, che hai frainteso: con la lettera O indicavo l'origine di SdR2, cioè il punto che tu chiami O' o B.
Per spiegarti il punto 1, ricorro ad un esempio.
In un problema diverso dal nostro, so che $x=t+2; y=2t-3$ e ne deduco $x+y=3t-1$: fin qui tutto bene. Proviamo però ad invertire il problema: sapendo che $x+y=3t-1$, non possiamo dedurne le formule iniziali, che potrebbero valere ma potrebbero anche essere sostituite da infinite altre.
Lo stesso vale nel nostro problema: sapendo le tue formule parametriche, possiamo dedurne la giusta formula per AB, ma sapendo la formula di AB non possiamo dedurne le tue parametriche perché da una sola equazione non possiamo dedurne due.
Di particolare importanza è poi il punto 3. Credo che tu sappia che in presenza di due sistemi di riferimento esistono formule che permettono di passare rapidamente dalle coordinate in uno dei due sistemi a quelle nell'altro; nel nostro caso, indicando con $(x,y)$ le coordinate in SdR1 e con $(X,Y)$ quelle in SdR2, le formule sono
${(X=x-r),(Y=y):} hArr {(x=X+r),(y=Y):}$
In SdR2 la formule parametriche di A' sono quindi
${(X=x-r=Rcos alpha-r),(Y=y=Rsin alpha):}$
ben diverse la quelle che tu proponi, e cioè
${(X=(R-r)cos frac alpha 2),(Y=(R+r)sin frac alpha 2):}$
Per $alpha=0$ i due gruppi di formule danno lo stesso risultato, ma in generale non è così.
Aggiungo una riflessione sul tuo punto 3, in cui dici
Su un foglio a parte traccio un SdR2 con B coincidente con il centro O’ di questo riferimento, e un punto A’ tale che le distanze O’A’=AB e dove A’ è il riflesso di A in SdR2
Anche in SdR2 vale il fatto che A' dista R da O ed è ruotato di $alpha$ rispetto all'asse delle ascisse; se sovrappongo i due fogli facendo coincidere O' con B, A' risulta sovrapposto ad A. Questo vale per ogni $alpha$, quindi la traiettoria di A' è sovrapposta a quella di A e pertanto è circolare.
Mi è venuta in mente un'altra strategia che forse avrebbe evitato tutte queste pagine di discussione se adottata fin dall'inizio; consiste nel fatto che io faccio un'affermazione e MaxVag la controlla.
La situazione è la seguente: nel sistema di riferimento con origine $O_1$ è disegnata la circonferenza di centro $C_1(-2,0)$ e raggio $R_1=5$; su questa circonferenza si muove il punto $A_1$.
La mia affermazione è: "Al muoversi di $A_1$ cambia la distanza $O_1A_1$, quindi quella circonferenza non è una circonferenza".
MaxVag, concordi o no? Perché?
La situazione è la seguente: nel sistema di riferimento con origine $O_1$ è disegnata la circonferenza di centro $C_1(-2,0)$ e raggio $R_1=5$; su questa circonferenza si muove il punto $A_1$.
La mia affermazione è: "Al muoversi di $A_1$ cambia la distanza $O_1A_1$, quindi quella circonferenza non è una circonferenza".
MaxVag, concordi o no? Perché?
Data la traiettoria che un punto mobile A compie rispetto ad un sistema di riferimento SdR1, la traiettoria che lo stesso punto A compie rispetto ad un secondo sistema di riferimento SdR2 dipende ovviamente sia da come si muove A rispetto ad SdR1 che da come si muove SdR2 rispetto ad SdR1.
Tornando alla questione proposta da MaxVag, essendo B un punto fisso nel sistema di riferimento – diciamolo SdR1 – rispetto al quale A si muove sulla circonferenza di centro O e raggio $R$, un sistema di riferimento SdR2 nel quale B è ancora un punto fermo può muoversi rispetto ad SdR1 solo girando attorno a B (con legge oraria arbitraria).
Abbiamo appena visto che se A, mentre si muove rispetto a SdR1 di origine O e coordinate cartesiane [x, y] sulla circonferenza di centro O(0, 0) e raggio $\overline {OA} = R$ (ossia di equazione cartesiana $x^2 + y^2 = R^2$) con velocità angolare di legge oraria ω(t) arbitraria, si muove rispetto ad un SdR2 di origine B e coordinate cartesiane [X, Y] sull'ellisse di equazone cartesiana
$[(R+r)X]^2 + [(R-r)Y]^2 = (R^2 - r^2)^2$
allora SdR2 gira attorno a B con velocotà angolare ω'(t che è la metà di ω(t).
Con altra opportuna velocità angolare di SdR2 rispetto a SdR1, il punto A può anche muoversi rispetto ads SdR2 di moto rettilineo; precisamente sul segmento $\overline{HK}$ di estremi
$H ≡[(R-r), 0]$ e $K ≡[(R+r), 0]$.
[O in infiniti altri modi in dipendenza dalle velocità angolari di SdR2 e di A rispetto ad SdR1.
E' anche facile costruire dispositivi meccanici capaci di realizzare in pratica prefissate traiettorie di tipo diverso, una rispetto ad un riferimento SdR1 di origine O ed un'altra rispetto ad un altro riferimento SdR2 di origine B [distinto da O] e girevole attorno a B.
Immaginiamo ora di fabbricare quello che, rispetto ad SdR2, realizza il moto rettilineo del punto che rispetto a SdR1 si muove di moto circolare.
a) In una tavoletta di legno [che costituirà un primo sistema di riferimento SdR1] si faccia un foro in un punto O e si pianti un piolo [ossia un chiodo al quale poi si asporti la "testa"] in un punto B distante $r$ da O.
b) Infilato un perno nel foro O. si fissi su di lui da un lato una "manovella" (che permetterà di far girare il perno su sé stesso) e dall'altro lato una barretta (perpendicolare al perno e solidale con esso) aderente al piano della tavoletta di legno (ma non serrata su di essa) recante all'altra estremità un piolo A parallelo al perno O e distante $R > r$ da esso.
c) Con una seconda tavoletta di legno [che costituirà il secondo sistema di riferimento SdR2] si costruisca un disco di diametro un po' maggiore di 2(R + r), si faccia un foro nel centro (che permetterà di imperniare il disco nel piolo B) e si pratichi una fessura radiale (nella quale verrà infilato il piolo A) che termini a distanza un po' minore di R – r dal foro centrale. Si disegni sul disco la semiretta [perpendicolare alla fessura] rappresentante il semiasse delle ordinate Y positive quando la fessura, orientata dal centro verso destra, rappresenta il semiasse delle ascisse X positive.
d) Si "impernii" il disco nel piolo B e quindi si infili nella sua fessura il piolo A. Allora, girando la manovella, è possibile far compiere ad A un arco lungo quasi una criconferenza (ma non di più perché la barretta che porta il piolo A ed è sottostante ad disco inciamperà dopo quasi un giro del piolo B). E rispetto al disco il piolo A può percorrere due volte (una in andata e una in ritorno) il segmento di lunghezza [quasi] $(R+r) – (R-r) = 2r$.
NB. Se al posto di una fessura radiale si praticasse nel disco una fessura di altro andamento, rispetto al disco il piolo A (costretto a strisciare nella fessura) percorrerebbe quella prefissata traiettoria.
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Quasi quasi ... mi vien voglia di costruirmi questo dispositivo, fotografarlo e caricare le foto nel web per farle vedere a MaxVag
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Tornando alla questione proposta da MaxVag, essendo B un punto fisso nel sistema di riferimento – diciamolo SdR1 – rispetto al quale A si muove sulla circonferenza di centro O e raggio $R$, un sistema di riferimento SdR2 nel quale B è ancora un punto fermo può muoversi rispetto ad SdR1 solo girando attorno a B (con legge oraria arbitraria).
Abbiamo appena visto che se A, mentre si muove rispetto a SdR1 di origine O e coordinate cartesiane [x, y] sulla circonferenza di centro O(0, 0) e raggio $\overline {OA} = R$ (ossia di equazione cartesiana $x^2 + y^2 = R^2$) con velocità angolare di legge oraria ω(t) arbitraria, si muove rispetto ad un SdR2 di origine B e coordinate cartesiane [X, Y] sull'ellisse di equazone cartesiana
$[(R+r)X]^2 + [(R-r)Y]^2 = (R^2 - r^2)^2$
allora SdR2 gira attorno a B con velocotà angolare ω'(t che è la metà di ω(t).
Con altra opportuna velocità angolare di SdR2 rispetto a SdR1, il punto A può anche muoversi rispetto ads SdR2 di moto rettilineo; precisamente sul segmento $\overline{HK}$ di estremi
$H ≡[(R-r), 0]$ e $K ≡[(R+r), 0]$.
[O in infiniti altri modi in dipendenza dalle velocità angolari di SdR2 e di A rispetto ad SdR1.
E' anche facile costruire dispositivi meccanici capaci di realizzare in pratica prefissate traiettorie di tipo diverso, una rispetto ad un riferimento SdR1 di origine O ed un'altra rispetto ad un altro riferimento SdR2 di origine B [distinto da O] e girevole attorno a B.
Immaginiamo ora di fabbricare quello che, rispetto ad SdR2, realizza il moto rettilineo del punto che rispetto a SdR1 si muove di moto circolare.
a) In una tavoletta di legno [che costituirà un primo sistema di riferimento SdR1] si faccia un foro in un punto O e si pianti un piolo [ossia un chiodo al quale poi si asporti la "testa"] in un punto B distante $r$ da O.
b) Infilato un perno nel foro O. si fissi su di lui da un lato una "manovella" (che permetterà di far girare il perno su sé stesso) e dall'altro lato una barretta (perpendicolare al perno e solidale con esso) aderente al piano della tavoletta di legno (ma non serrata su di essa) recante all'altra estremità un piolo A parallelo al perno O e distante $R > r$ da esso.
c) Con una seconda tavoletta di legno [che costituirà il secondo sistema di riferimento SdR2] si costruisca un disco di diametro un po' maggiore di 2(R + r), si faccia un foro nel centro (che permetterà di imperniare il disco nel piolo B) e si pratichi una fessura radiale (nella quale verrà infilato il piolo A) che termini a distanza un po' minore di R – r dal foro centrale. Si disegni sul disco la semiretta [perpendicolare alla fessura] rappresentante il semiasse delle ordinate Y positive quando la fessura, orientata dal centro verso destra, rappresenta il semiasse delle ascisse X positive.
d) Si "impernii" il disco nel piolo B e quindi si infili nella sua fessura il piolo A. Allora, girando la manovella, è possibile far compiere ad A un arco lungo quasi una criconferenza (ma non di più perché la barretta che porta il piolo A ed è sottostante ad disco inciamperà dopo quasi un giro del piolo B). E rispetto al disco il piolo A può percorrere due volte (una in andata e una in ritorno) il segmento di lunghezza [quasi] $(R+r) – (R-r) = 2r$.
NB. Se al posto di una fessura radiale si praticasse nel disco una fessura di altro andamento, rispetto al disco il piolo A (costretto a strisciare nella fessura) percorrerebbe quella prefissata traiettoria.
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Quasi quasi ... mi vien voglia di costruirmi questo dispositivo, fotografarlo e caricare le foto nel web per farle vedere a MaxVag
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Finalmente!
Erasmus sei venuto allo scoperto: analizzerò la tua Legenda, bella ,concisa e istruttiva per prima cosa! Partirò da lì e ti risponderò appena possibile: scusami, purtroppo ho problemi.
A presto: ciao ciao a tutti. M.V.
Erasmus sei venuto allo scoperto: analizzerò la tua Legenda, bella ,concisa e istruttiva per prima cosa! Partirò da lì e ti risponderò appena possibile: scusami, purtroppo ho problemi.
A presto: ciao ciao a tutti. M.V.
Cercherò di interpretare le cose che avete scritto!
Erasmus: ottimo lavoro. Tutta la prima parte la restringerei nella seguente definizione: il punto A ruota secondo una circonferenza di centro O mentre rispetto a B, il suo moto circolare dà luogo a una distanza AB che corrisponde (non uso né «traiettoria», né «figura») al raggio (di uguale valore di AB) di un moto ellittico con centro in B, come dalla tua Legenda.
Allora in SdR1 il moto di A (circolare) con la sua distanza AB corrisponde al moto di un punto A’ di una determinata ellisse.
Questa è la relazione che c’è tra la circonferenza e l’ellisse nel nostro caso, ellisse che non è tracciata ma è dedotta dalla distanza AB.
Erasmus hai anche preso in considerazioni le velocità, che a noi qui e in questo momento almeno non interessano.
giammaria mi piace l’esempio pratico della sovrapposizione dei fogli. Se metti uno sopra l’altro, due fogli uno con SdR1 (circonferenza di A e fisso B) e l’altro SdR2 (ellisse con uguale distanza) facendo coincidere B con B’ e A con A’ (e questo lo posso fare per tutti i punti A della circonferenza) poiché AB=A’B’, posso dire che la distanza AB corrisponde al raggio di una ben determinata Ellisse. In definitiva come ha fatto Erasmus nella sua Legenda.
Tralasciando i moti e le velocità ritorniamo all’equazione di Carnot:
\(\overline {AB}=\sqrt{\overline {OA^2}+\overline {OB^2}-2\overline{OA}\ \overline{OB} \cosα}=\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha/2)}=\sqrt{(R-r)^2 \cos^2α/2+(R+r)\sin^2α/2}\\\)
nelle quali il 3° e 4° membro danno lo stesso valore per \(\alpha\quad\)e i cui risultati sono scritti nella Tabella mostrata all’inizio.
Però prima di proseguire ditemi che siamo tutti d’accordo fino a questo punto, affinchè possa farvi una domanda!
Non scrivete altro: aspetto un sì o un nò da tutti.
Ciao. M.V.
Erasmus: ottimo lavoro. Tutta la prima parte la restringerei nella seguente definizione: il punto A ruota secondo una circonferenza di centro O mentre rispetto a B, il suo moto circolare dà luogo a una distanza AB che corrisponde (non uso né «traiettoria», né «figura») al raggio (di uguale valore di AB) di un moto ellittico con centro in B, come dalla tua Legenda.
Allora in SdR1 il moto di A (circolare) con la sua distanza AB corrisponde al moto di un punto A’ di una determinata ellisse.
Questa è la relazione che c’è tra la circonferenza e l’ellisse nel nostro caso, ellisse che non è tracciata ma è dedotta dalla distanza AB.
Erasmus hai anche preso in considerazioni le velocità, che a noi qui e in questo momento almeno non interessano.
giammaria mi piace l’esempio pratico della sovrapposizione dei fogli. Se metti uno sopra l’altro, due fogli uno con SdR1 (circonferenza di A e fisso B) e l’altro SdR2 (ellisse con uguale distanza) facendo coincidere B con B’ e A con A’ (e questo lo posso fare per tutti i punti A della circonferenza) poiché AB=A’B’, posso dire che la distanza AB corrisponde al raggio di una ben determinata Ellisse. In definitiva come ha fatto Erasmus nella sua Legenda.
Tralasciando i moti e le velocità ritorniamo all’equazione di Carnot:
\(\overline {AB}=\sqrt{\overline {OA^2}+\overline {OB^2}-2\overline{OA}\ \overline{OB} \cosα}=\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha/2)}=\sqrt{(R-r)^2 \cos^2α/2+(R+r)\sin^2α/2}\\\)
nelle quali il 3° e 4° membro danno lo stesso valore per \(\alpha\quad\)e i cui risultati sono scritti nella Tabella mostrata all’inizio.
Però prima di proseguire ditemi che siamo tutti d’accordo fino a questo punto, affinchè possa farvi una domanda!
Non scrivete altro: aspetto un sì o un nò da tutti.
Ciao. M.V.
Io non sono d'accordo: il disegno di Erasmus mostra che le vere posizioni di A (in rosso) non corrispondono a quelle su un'ellisse (in blu).
Dato che ti è piaciuta la mia sovrapposizione di fogli, insisto su questa; tu stesso dici che posiamo farlo
Ma se A ed A' si sovrappongono sempre, il disegno tracciato da A' in SdR2 è uguale a quello tracciato da A in SdR1 e quindi è circolare: l'ellisse non c'entra.
Piuttosto, hai capito quello che dicevo al punto 1 della mia lettera del 10 dicembre, alle 9.12? Ho indicato l'ora del mio computer; sul tuo potrebbe essere un'ora in più o in meno.
Dato che ti è piaciuta la mia sovrapposizione di fogli, insisto su questa; tu stesso dici che posiamo farlo
facendo coincidere B con B’ e A con A’ (e questo lo posso fare per tutti i punti A della circonferenza)
Ma se A ed A' si sovrappongono sempre, il disegno tracciato da A' in SdR2 è uguale a quello tracciato da A in SdR1 e quindi è circolare: l'ellisse non c'entra.
Piuttosto, hai capito quello che dicevo al punto 1 della mia lettera del 10 dicembre, alle 9.12? Ho indicato l'ora del mio computer; sul tuo potrebbe essere un'ora in più o in meno.
@maxvag No, nel tuo caso non c'è nessuna ellisse, non capisco come dopo tutti questi messaggi e spiegazioni tu non l'abbia ancora capito, la traiettoria vista da due diversi sdr cambia solo se c'è moto relativo tra questi due sdr. Se io vedo una macchina fare una traiettoria circolare, anche Mario che si trova a dieci metri da me vede la macchina fare una traiettoria circolare...se Mario mi dice che fa una traiettoria ellittica gli consiglio di rivolgersi a un buon ottico...
"MaxVag":NOOOO!
[...] il punto A ruota secondo una circonferenza di centro O mentre rispetto a B, il suo moto circolare dà luogo a una distanza AB che corrisponde (non uso né «traiettoria», né «figura») al raggio (di uguale valore di AB) di un moto ellittico con centro in B, come dalla tua Legenda. [...]
Non ha alcun senso dire che il moto circolare rispetto ad O è ellittico rispetto a B!
a) Se nel sistema di riferimento SdR1 in cui A gira su una circonferenza un sistema di riferimento SdR2 è fermo, allra A gira su una circonferenza anche nel sistema di riferimento SdR2.
2) Se un sistema di riferimento SdR2 non è fermo rispetto ad SdR1 nel quale A si muove su una circonferenza, rispetto a questo SdR2 [size=120]la traiettoria può essere qualsiasi[/size] (anche per il medesimo moto di A rispetto ad SdR1) dipendendo ANCHE dal moto di SdR2 rispetto ad SdR1.
3) Potendo essere qualsiasi, in particolare potrebbe anche essere ellittico proprio come dici tu, ma solo nel caso particolarissimo in cui, rispetto ad SdR1, la velocità angolare di SdR2 di origine B (fermo!) è metà della velocità angolare di A rispetto a SdR1. Solo in questo caso il moto di A rispetto ad SdR2 è ellittico sull'ellisse che dici tu (di centro B, diametro massimo $2(R+r)$ e diametro minimo $2(R-r)$).
Ma se non precisi che B è sì fermo ma il sistema SdR2 GIRA attorno a B a velocità angolare META' di quella di A attorno ad O, non ha alcun senso dire di quale moto si muove A rispetto ad un riferimento nel quale B è ancora fermo!
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