Tetraedro con sfere

[axpgn]

Quattro sfere di raggio unitario sono contenute in un tetraedro regolare in modo tale che ogni sfera è tangente a tre facce del tetraedro e alle altre tre sfere.

Quanto misura il lato del tetraedro?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Un tetraedro di lato 2 ha per base il triangolo con i seguenti vertici:
$(0,0,0),(2,0,0),(1,\sqrt 3, 0)$
Il centro della base lo troviamo facendo la media delle coordinate dei vertici:
$(1, 1/\sqrt 3, 0)$
La cima del tetraedro sta sopra il centro della base e quindi ha coordinate
$(1, 1/\sqrt 3, z)$
Siccome la cima deve avere distanza $2$ dal vertice $(0,0,0)$, ovvero $(0,0,0)- (1, 1/\sqrt 3, z ) = 2$, quindi con Pitagora troviamo la cima
$(1, 1/\sqrt 3, \sqrt8 / \sqrt3)$
Il centro del tetraedro e' la media dei 4 vertici
$(0,0,0),(2,0,0),(1,\sqrt 3, 0),(1, 1/\sqrt 3, \sqrt8 / \sqrt3)$
cioe'
$(1, 1/\sqrt 3, 1 / \sqrt6)$
I 4 vertici siano il centro di 4 sfere di raggio 1 e si consideri un secondo tetraedro che e' "circoscritto" alle sfere, che le contiene tutte.
Abbiamo determinato che il centro dei due tetraedri, che e' lo stesso punto, dista $1/\sqrt6$ dalla base del primo tetraedro
e quindi dista $1/ \sqrt 6 +1$ dalla base del secondo tetraedro. $+1$ viene dal raggio delle sfere.
Quindi le distanze lineari nel secondo tetraedro rispetto alle stesse distanze del primo stanno tutte in rapporto
$(1/\sqrt6 +1 )/(1/\sqrt6) = 1+ \sqrt6$
e allora se il lato del primo tetraedro e' $2$ il lato del secondo e' $2(1+ \sqrt6)$

[axpgn]

Ok!

Un'alternativa ...

I segmenti che congiungono i centri delle sfere formano un tetraedro regolare di spigolo $2$.
I due tetraedri hanno il centro in comune e le facce hanno distanza unitaria (raggio sfere).
Chiamiamo $r$ il rapporto tra la distanza del centro di un tetraedro con una sua faccia e la misura di un suo spigolo.
Quindi la lunghezza dello spigolo del tetraedro è $(2r+1)/r$.

Dato un tetraedro di spigolo unitario, l'altezza di una faccia è $sqrt(3)/2$.
Dato che il centro di un triangolo divide l'altezza in rapporto $2:1$, la distanza tra il centro di una faccia ed un vertice è $sqrt(3)/3$ e quindi l'altezza di questo tetraedro è $sqrt(6)/3$.
Dato che il centro di un tetraedro regolare divide la sua altezza in rapporto $3:1$, si conclude che $r=sqrt(6)/12$ da cui ne consegue che la lunghezza dello spigolo cercato è $2+2sqrt(6)$.

Cordialmente, Alex