Test della SS di Catania

[walter.ruggeri.3]

Buongiorno a tutti
In questo periodo, mi sto preparando al test per entrare alla Scuola Superiore di Catania (in verità, sono già entrato al PoliTO con 73,25/100... ma Catania mi risulterebbe molto più facile da frequentare, a causa di questioni tanto organizzative quanto geografiche)... spulciando le prove degli anni scorsi, mi sono accorto che spesso non rispondono a quelli che sono i programmi di preparazione proposti dalla stessa SSC: per esempio, per alcuni esercizi è richiesta la conoscenza dell'aritmetica modulare (che a scuola non si studia, e che la SSC non ha inserito nel programma da preparare per la prova d'ammissione) e delle sue applicazioni alla risoluzione delle equazioni diofantee (le quali, naturalmente, non figurano nel programma stilato dalla SSC)...

A tal proposito, vorrei proporvi un esercizio, tratto dalla prova del 2011:

Dimostrare che l'equazione
$ x^3 + y^3 + z^3 = 2011 $
non ha soluzioni intere.

La soluzione proposta dalla SSC si avvale delle congruenze modulo n per dimostrare che una somma di tre cubi non ha congruenze con il valore 2011.
A questo punto, mi chiedo: ci sono altri metodi di risoluzione di un esercizio del genere? Perchè, se questo è lo standard (e se dunque i test della SSC non rispecchiano i programmi dalla scuola stessa proposti), non so proprio cosa fare: non posso mica studiare tutta la matematica del mondo...

[Half95]

Guarda secondo me non devi saper per forza i moduli per fare gli esercizi con i moduli... io le prime volte in pratica li usavo senza rendermene conto!
infatti ti basta sapere che due numeri interi uguali divisi per lo stesso numero devono dare lo stesso resto! se te al test scrivi ad esempio:

se divido a destra e a sinistra per 9 devo ottenere resto 4. Un qualsiasi numero può essere espresso come $9a+k$ dove $0\leq k<9$ con $a,k$ interi. allora $(9a+K)^3$ se dividiamo per 9 questo numero che resto otteniamo? $k^3$ perché tutti gli altri sono divisibili per 9. Ora non ti rimane altro che sostituire a k i valori da 0 a 8 per vedere che resto ottieni dividendo per 9. ti accorgi che gli unici resti sono 0,1 e 8. ora sommando a piacere questi numeri e dividendo per 9 possiamo ottenere 4? no, quindi non ci sono soluzioni. Ora se tu conosci bene i moduli bastava dire che $x^3+y^3+z^3 \equiv 4mod9$ e che i residui cubici mod9 sono solo -1,0,1. E concludevi.

Se vuoi il mio parere a loro non interessa se fai nel primo modo o nel secondo. A loro interessa che ti arrangi con quello che conosci, se ti concentri un esercizio cosi lo puoi fare anche senza sapere i moduli! dopo ovviamente se li sai usare ci metti la metà anche perché un esercizio così li chiama

[walter.ruggeri.3]

Ti ringrazio per la risposta Avrei solo alcuni chiarimenti da chiedere:

"Half95":
se divido a destra e a sinistra per 9 devo ottenere resto 4.

Perchè?

"Half95":
Ora non ti rimane altro che sostituire a k i valori da 0 a 8 per vedere che resto ottieni dividendo per 9. ti accorgi che gli unici resti sono 0,1 e 8. ora sommando a piacere questi numeri e dividendo per 9 possiamo ottenere 4? no, quindi non ci sono soluzioni.

Non ho capito neanche questa parte... ma forse la capirò una volta chiarito il primo punto...

[Half95]

ok allora punto 1:

stiamo parlando di interi quindi se dividiamo 27 per 9 otteniamo 3 con resto 0.
Se invece abbiamo 30 e lo dividiamo per 9 otteniamo resto 3. Un po' come alle elementari quando non conoscevi le frazioni.
Ora ti faccio un primo esempio semplice: x+y=30
se dividiamo 30 per 9 come prima otteniamo resto 3, ma allora anche dividendo x+y per 9 otteniamo resto tre, perché x+y è 30! non so se mi spiego? ora se vuoi scriverlo come modulo si dice che $x+y \equiv 3 mod9$.

il punto 2:

abbiamo $x^3$ lo dividiamo per 9 e magicamente può dare solo tre resti: 0,1,8. Lo stesso vale per $y^3$ e $z^3$. quindi devi dire che il resto di $r_x+r_y+r_z$ ($r_x$ intendo resto che otteniamo dividendo $x^3$ per 9 ecc..) diviso 9 deve essere uguale a 4.. ma non è possibile se provi i casi te ne accorgi

[walter.ruggeri.3]

Grazie di nuovo per le spiegazioni

Allora, vediamo se ho capito:

Data l'equazione in esame, si ha che:

$ 2011/9 = 223 + 4/9 $

Dunque deve essere anche:

$ (x^3+y^3+z^3)/9 = 223 + 4/9 $

Ma uno qualunque dei tre cubi, diviso per 9, riporta come resto 0,1 o 8, e non c'è dunque modo di avere:

$ r_x + r_y + r_z = 4 $

Per cui, si deve concludere che l'equazione non ha soluzioni intere.


Giusto?

A questo punto, ho solo un quesito: il fatto che la divisione tra un cubo e 9 riporti come resto sempre e solo 0,1, o 8 si determina in qualche modo?


PS: approfitto per rispondere ad una domanda che mi avevi posto prima: io non ho mai studiato i moduli

[Half95]

"wrugg25":

Ma uno qualunque dei tre cubi, diviso per 9, riporta come resto 0,1 o 8, e non c'è dunque modo di avere:

$ r_x + r_y + r_z = 4 $

Per cui, si deve concludere che l'equazione non ha soluzioni intere.

allora si è giusto l unica cosa che magari non ho spiegato bene che anche qui si parla di resti quindi ad esempio se $r_x=8$ $r_y=1$ $r_z=1$ allora sarebbe
$ r_x + r_y + r_z \equiv 1mod9 $

"wrugg25":
A questo punto, ho solo un quesito: il fatto che la divisione tra un cubo e 9 riporti come resto sempre e solo 0,1, o 8 si determina in qualche modo?


PS: approfitto per rispondere ad una domanda che mi avevi posto prima: io non ho mai studiato i moduli

sisi determinarlo è facilissimo per spiegarti ti faccio un esempio:

se abbiamo $x^2$ e vogliamo sapere che resto ci dà se lo dividiamo per 4, ci basta fare 4 casi:
1) $x=4x_1$ il resto ovviamente sarà 0. se lo eleviamo al quadrato il resto rimane 0
2) $x=4x_1+1$ il resto sarà 1.se lo eleviamo al quadrato il resto rimane 1
3) $x=4x_1+2$ il resto è 2. se lo eleviamo al quadrato otteniamo $x=4x_1^2+16x_1+4$ il resto è 0!!
4) $x=4x_1+3$ il resto è 3. se lo eleviamo al quadrato otteniamo $x=4x_1^2+24x_1+9$ il resto è1!!
si dice quindi che i resti quadratici modulo 4 possono essere solo o e1.
ora ogni numero ha i suoi residui quadratici, e quindi bisogna trovare ogni volta il numero giusto per cui dividere
per i cubi si procede allo stesso modo

per vedere se hai capito prova a fare questo: $x^2+y^2=223$
e poi questo $x^2+y^2+z^2=22223$ scegli con attenzione per cosa dividere

[walter.ruggeri.3]

Perfino degli ulteriori esercizi... dire che sei gentile non rende giustizia a tutto quello che stai facendo per aiutarmi
Ecco come ho risolto i due esercizi:

$ x^2+y^2=223 $
$ (x^2+y^2)/4 = 55 +3/4 $
Visto che i resti quadratici di modulo 4 sono solo 0 e 1, l'equazione considerata non ha soluzioni intere, perchè non esistono valori che verifichino l'uguaglianza:
$ r_x+r_y =3 $

$ x^2+y^2+z^2 = 22223 $

Qui, visto che si tratta sempre di quadrati, ho diviso di nuovo per 4:

$ (x^2+y^2+z^2)/4 = 5555 + 3/4 $

L'equazione considerata ammette soluzioni, perchè l'equazione dei resti

$ r_x+r_y+r_z =3 $

Può essere verificata se i valori x, y e z sono nella forma:

$ x = 4a+1 $
$ y = 4b+1 $
$ z = 4c+1 $

Detti a, b e c dei generici valori interi.

A questo punto, però, ho delle curiosità:
- La scelta dei divisori va fatta in base a dei criteri specifici? Per esempio, nell'esercizio con i cubi, la divisione andava fatta per 9 (= 3*3), mentre nei quadrati pare essere agevole farla per 4 (=2*2)... dunque, per esempio, con le potenze quinte potrebbe convenire dividere per 25 (=5*5)?
- Quanti "casi" occorrono, per definire tutti i possibili resti? Ne occorrono, come nella mia ipotesi della domanda prima, 4 per i quadrati, 9 per i cubi, 25 per le potenze quinte e così discorrendo?

[Half95]

allora il primo esercizio è giusto il secondo però no! o almeno non è finito! e qui arriviamo alla tua domanda, come si fa a scegliere il divisore? non c' è un modo per saperlo, devi vedere che incognite hai a cosa sono elevate e che numeri interi si presentano nell' espressione: diciamo che dopo un po' ti fai l' occhio Inoltre ti posso dire che se ci sono quadrati puoi provare di solito 4 e 8 (e infatti prova a dividere per 8 il secondo esercizio e vedi cosa ti viene) e non funziona come dici te:) per le potenze 5 hai 11

[walter.ruggeri.3]

Quindi il secondo non va ancora bene... cosa manca?

[Half95]

"wrugg25":Quindi il secondo non va ancora bene... cosa manca?

che ti sei fermato dovresti trovare dei valori per x y e z se ci sono infatti invece che usare 4 dividi per 8 e capirai

[walter.ruggeri.3]

E come le trovo, 'ste soluzioni?
Lo so, sto facendo la figura dell'incompetente... ma le dispense si riferiscono solo a quelle a due incognite, e al momento di ricerche sul web non posso farne (la connessione è lentissima...).

[Half95]

Allora se fai modulo 8 scopri che non ci sono valori possibili e l equazionr quindi non ha soluzione

[walter.ruggeri.3]

Grazie, ora è tutto chiaro
Scusa se rompo ancora, ma vorrei porti un ultimo quesito, di carattere generale: secondo te, mi conviene studiare le risoluzioni degli esercizi fornite dalla SSC, oppure provare a risolverli per conto mio?

[Half95]

Se avessi tempo fatteli e dopo studiali se no studiali direttamente

[giammaria2]

Io ho sempre trovato meglio tentare la soluzione per conto mio perché solo così entravo bene nell'ottica del problema ed esercitavo la mia testa. Solo dopo ne leggevo la soluzione, che spesso mi mostrava altri metodi o ragionamenti.

[walter.ruggeri.3]

Grazie ad entrambi
Per fortuna, il tempo non mi manca (o almeno: credo di avere abbastanza tempo), e dunque posso provare a risolverli da me, prima di leggere le risoluzioni "pre-confezionate"

A proposito, approfitto di questo topic (vi prego, non odiatemi ) per proporre la risoluzione di un esercizio che ho svolto stamattina, e che ho tratto dai test del 2009, così che possiate dirmi (se vi va) se la mia risoluzione è scorretta o migliorabile (un mio amico, che ha fatto i test un paio d'anni fa, mi ha detto che, se il test non è a risposta multipla - e negli ultimi 7 anni non lo è stato - è richiesto al candidato di illustrare i ragionamenti che l'hanno condotto alla risoluzione dei problemi proposti):

Si determinino tutte le quintuple (a; b; c; d; e) di numeri primi distinti tra loro tali che:

$ a^2 + b^2 = c^2 + d^2 + e^2 $

Io l'ho risolto così:

Si ha che la somma di due numeri deve essere uguale alla somma di altri tre. Da ciò, sapendo che:

- I cinque numeri in questione sono i quadrati di altrettanti numeri primi
- L'unico numero primo pari è $2$
- La somma di due fattori dispari è sempre pari
- La somma di tre numeri dispari è sempre dispari
- Il residuo quadratico $mod 4$ di un qualsiasi $k^2$ dispari è pari ad $1$

Si ha che uno tra $c^2$,$d^2$ ed $e^2$ deve essere pari, e che dunque uno tra $c$,$d$ ed $e$ deve essere uguale a $2$. Poniamo allora che sia $c=2$ e dunque $c^2=4$.
A questo punto, ci troviamo davanti all'equazione:

$a^2+b^2-d^2-e^2 = 4$

A questo punto, considerando che il residuo quadratico $mod 8$ per un valore dispari è $1$, e sapendo che $4 mod8 = 4$, risulta che non vi è alcuna quadrupla di valori $(a; b; d; e)$ primi tali da far risultare $a^2+b^2-d^2-e^2 -= 4 (mod 8)$

Che ne dite? È un buon ragionamento? Ed è espresso nel modo migliore?

[walter.ruggeri.3]

Ancora buonasera
Lo so, ormai mi starete odiando
Vorrei proporvi la risoluzione di altri due esercizi, con corredo di quesiti in merito. Sono tratti dai test del 2013 (il primo dal test specifico per ingegneria, il secondo da quello contrassegnato come "altri CDL").

Ecco il primo:

Si trovino tutte le funzioni surget tive $ f: R rarr R $ che soddisfino l'uguaglianza
$ f[x - f(y)] = f[f(y)] -2xf(y)+f(x) $
per ogni coppia di numeri reali $x$ ed $y$.
Ci sono altre funzioni senza assumere l'ipotesi di surgettività?

Ponendo $x=0$, si ha:
$f[-f(y)]=f[f(y)] +f(0)$

Ponendo invece $f(y)=0$:
$f(x) = f(x) + f(0)$

Da cui:
$f(0) = 0$
$f[-f(y)] = f[f(y)]$

La funzione richiesta deve dunque essere pari:
$ f(x) = x^n + x^k + ... + a $ con $n,k...$ pari ed $n != k != ...$

Dall'espressione inizialmente data per la funzione, si nota che il termine noto (il quale è indipendente dall'argomento della funzione) deve essere nullo: $a=0$
Dunque la funzione deve essere del tipo
$ f(x) = x^n + x^k + ... $
$ f[x-f(y)] = [x-f(y)]^n +[x-f(y)]^k + ... $

Si noti a questo punto che:

$[x-f(y)]^2 = [f(y)]^2 -2xf(y)+ x^2$

Da cui si deduce la soluzione $f(x) = x^2$, la quale è unica.
Si tratta di una funzione non suriettiva, e dunque si può concludere che non esistono funzioni suriettive in grado di soddisfare le condizioni poste.

Ed ecco il secondo:

Dato un intero $n$, mettiamo $3n$ cifre uguali tra il numero $3$ e il numero $7$. Si dimostri che il numero così ottenuto è divisibile per $37$.

Un numero è divisibile per $37$ se lo è la somma dei numeri di tre cifre formati selezionando, a partire da destra, le sue cifre a tre a tre.
Il numero in esame, detta $k$ la cifra scelta, è dunque divisibile per $37$ se lo è il valore:
$(30+k)+(7+110k)+111k*(3n-1)$
Il fattore $111k(3n-1)$ è sicuramente divisibile per $37$, essendo multiplo di $111=37*3$.
È divisibile per $37$ anche $(30+k)+(7+110k)=37+111k$, perchè entrambi gli addendi che lo compongono lo sono.
Si conclude pertanto che il numero ottenuto secondo le richieste è divisibile per $37$.

Bene, a questo punto, veniamo alla mia domanda: ho trovato il criterio di divisibilità per $37$ cercando su internet... ma chiaramente, durante il test non avrò internet a disposizione Esiste quindi uno stratagemma, qualcosa (che possibilmente non sia il "provare per tentativi": quello lo conosco già) che mi permetta di determinare con relativa facilità i criteri di divisibilità per un determinato numero?

[milizia96]

Per il $37$, si nota che è un divisore di $999$, quindi $1000 \equiv 1 \mod 37$.
Segue la regola che hai citato. Spesso si seguono ragionamenti simili per trovare qualunque criterio di divisibilità.

[walter.ruggeri.3]

Grazie per la spiegazione, tutto chiaro

A proposito, propongo un'altra risoluzione, stavolta dal test del 2010... di questo esercizio, però, non è stata fornita la soluzione, dunque devo chiedervi di verificare che io abbia agito correttamente:

Si trovino tutte le funzioni $ f: R rarr R $ che soddisfino l'uguaglianza
$ f[f(x - y)] = f(x)-f(y) +f(y)f(x) - xy $
per ogni coppia di numeri reali $x$ ed $y$.

Se $x=0$:
$f[(f(-y)] = f(0) * [1+f(y)] - f(y)$

Se $y=0$:
$f[f(x)] = f(x)+f(0)*[f(x)-1]$


A questo punto, ponendo $f(0)=0$, si trova la prima soluzione:
$f[f(x)]=f(x) rArr f(x) = x$


Se invece $f(0) != 0$, si ha:
$f(x) = [1+f(0)]x+f(0)$

In tal modo, si avrebbe
$f[f(x-y)] = [1+f(0)]^2x-[1+f(0)]^2y + f(0)[2+f(0)]$

Ma la consegna richiede che sia:
$f[f(x-y)] = [1+f(0)]x+f(0) - [1+f(0)]y-f(0) + [1+f(0)]^2xy+ f(0)[1+f(0)] + f(0)[1+f(0)]y + [f(0)]^2-xy = [1+f(0)]^2x + {[f(0)]^2-1}y + {[f(0)]^2 + 2f(0)}xy + [f(0)]^2$

Ciò è possibile solo se:

$ { ( [f(0)]^2 -1 = [f(0)]^2 + 1 +2f(0) ),( [f(0)]^2 +2f(0) = 0 ),( [f(0)]^2 = [f(0)]^2 + 2f(0) ):} $

Ma tale sistema non ha soluzioni, visto che nessuna delle soluzioni di ciascuna equazione è comune ad entrambe le altre.
Dunque, si conclude che l'unica funzione in grado di soddisfare le richieste è $f(x)=x$.

Dunque, la mia risoluzione è corretta?

EDIT: vorrei anche chiedervi suggerimenti su come risolvere questo:

Nel primo quadrante di un piano cartesiano siano dati i punti $P -= (a; b)$ e $Q -= (c; d)$, con c$ > a$ e $b != d$. Determinare il punto R sull'asse delle ascisse tale che la somma $ bar(PR) + bar(RQ) $ sia minima.

EDIT-2: Hey, c'è nessuno in questo forum?
Va be', non importa: con un po' di ragionamento, ho risolto il problema di cui sopra:

Si ha:
$ bar(PR)+bar(QR) = sqrt((x-a)^2+b^2)+sqrt((c-x)^2+d^2) $

Si sa che, in corrispondenza di un punto di minimo, deve essere $ f'(x) = 0 $. Dunque:
$ f'(x) = (x-c)/sqrt((c-x)^2+d^2) + (x-a)/sqrt((a-x)^2+b^2) = 0 $

Che vuol dire:
$ (x-c)/sqrt((c-x)^2+d^2) = (a-x)/sqrt((a-x)^2+b^2) $
$ (x-c)^2/((c-x)^2+d^2) = (a-x)^2/((a-x)^2+b^2) $
$ 1+d^2/(c-x)^2 = 1 + b^2/(a-x)^2 $
$ d^2(a-x)^2 = b^2(c-x)^2 $

Da cui si ricava l'equazione di secondo grado:
$ (b^2-d^2)x^2+2(ad^2-cb^2)x+b^2c^2-a^2d^2=0 $

Che ammette due soluzioni distinte:
$ x=(bc+ad)/(b+d) $
$ x=(bc-ad)/(b-d) $

La seconda delle due però non è accettabile, perchè richiede che sia:
$ { ( b>=d ),( b>=(ad)/c ):} $

Il che è impossibile, perchè da consegna dev'essere $c>a$.

[Half95]

per il secondo problema se non mi sbaglio c' è un' idea molto carina per saltare la derivata prova a costruirti il simmetrico rispetto all' asse delle ascisse

[walter.ruggeri.3]

"Half95":per il secondo problema se non mi sbaglio c' è un' idea molto carina per saltare la derivata prova a costruirti il simmetrico rispetto all' asse delle ascisse

Avevo sentito parlare di questo metodo... ma io (per motivi a me oscuri) sono uno schifo in geometria, quindi ho preferito la soluzione analitica

A proposito, propongo un altro quesito, per sapere se ho agito bene:

Dati sei interi positivi distinti, qual è il massimo numero di primi nell'insieme delle somme di due di essi?

L'unico primo pari è $2$, che non può essere ottenuto in quanto gli interi devono essere tutti positivi (quindi lo $0$ non è permesso), devono essere distinti (quindi la somma $1+1$ non può avvenire) e possono essere solo sommati.
Dunque, i primi ottenibili sono tutti dispari.

Se i sei numeri sono tutti pari, nessuna somma "prima" è possibile, perchè ogni somma renderà un numero pari (e quindi divisibile per $2$).
Se gli interi dispari sono $5$ (o è uno solo), si hanno $5$ possibili somme dispari.
Se gli interi dispari sono $4$, si hanno $8$ possibili somme dispari.
Se gli interi dispari sono $3$, si hanno $ ( (6), (2) ) - ( (3), (2) ) = 12$ possibili somme dispari.
Se gli interi dispari sono $2$, si hanno $ ( (6), (2) ) - ( (4), (2) ) = 9$ possibili somme dispari.

Dunque, il massimo numero di primi ottenibile, supponendo che ogni somma riporti un numero primo, è $12$.