Test della SS di Catania
Buongiorno a tutti 
In questo periodo, mi sto preparando al test per entrare alla Scuola Superiore di Catania (in verità, sono già entrato al PoliTO con 73,25/100... ma Catania mi risulterebbe molto più facile da frequentare, a causa di questioni tanto organizzative quanto geografiche)... spulciando le prove degli anni scorsi, mi sono accorto che spesso non rispondono a quelli che sono i programmi di preparazione proposti dalla stessa SSC: per esempio, per alcuni esercizi è richiesta la conoscenza dell'aritmetica modulare (che a scuola non si studia, e che la SSC non ha inserito nel programma da preparare per la prova d'ammissione) e delle sue applicazioni alla risoluzione delle equazioni diofantee (le quali, naturalmente, non figurano nel programma stilato dalla SSC)...
A tal proposito, vorrei proporvi un esercizio, tratto dalla prova del 2011:
La soluzione proposta dalla SSC si avvale delle congruenze modulo n per dimostrare che una somma di tre cubi non ha congruenze con il valore 2011.
A questo punto, mi chiedo: ci sono altri metodi di risoluzione di un esercizio del genere? Perchè, se questo è lo standard (e se dunque i test della SSC non rispecchiano i programmi dalla scuola stessa proposti), non so proprio cosa fare: non posso mica studiare tutta la matematica del mondo...
In questo periodo, mi sto preparando al test per entrare alla Scuola Superiore di Catania (in verità, sono già entrato al PoliTO con 73,25/100... ma Catania mi risulterebbe molto più facile da frequentare, a causa di questioni tanto organizzative quanto geografiche)... spulciando le prove degli anni scorsi, mi sono accorto che spesso non rispondono a quelli che sono i programmi di preparazione proposti dalla stessa SSC: per esempio, per alcuni esercizi è richiesta la conoscenza dell'aritmetica modulare (che a scuola non si studia, e che la SSC non ha inserito nel programma da preparare per la prova d'ammissione) e delle sue applicazioni alla risoluzione delle equazioni diofantee (le quali, naturalmente, non figurano nel programma stilato dalla SSC)...
A tal proposito, vorrei proporvi un esercizio, tratto dalla prova del 2011:
Dimostrare che l'equazione
$ x^3 + y^3 + z^3 = 2011 $
non ha soluzioni intere.
La soluzione proposta dalla SSC si avvale delle congruenze modulo n per dimostrare che una somma di tre cubi non ha congruenze con il valore 2011.
A questo punto, mi chiedo: ci sono altri metodi di risoluzione di un esercizio del genere? Perchè, se questo è lo standard (e se dunque i test della SSC non rispecchiano i programmi dalla scuola stessa proposti), non so proprio cosa fare: non posso mica studiare tutta la matematica del mondo...
Risposte
C è qualcosa che non mi torna in teoria non dovrebbero essere 9?
"Half95":
C è qualcosa che non mi torna in teoria non dovrebbero essere 9?
Ora che mi ci fai pensare c'è un errore nel mio ragionamento: se i dispari sono $3$, la formula corretta è $ ( (6), (2) ) - ( (3), (2) ) -3 = 9$, perchè bisogna eliminare dal computo anche le tre possibili somme tra i tre numeri pari. Nel caso in cui ci siano solo $2$ numeri dispari, invece, bisogna considerare anche l'unica somma "dispari + dispari" possibile, e dunque il computo corretto è $ ( (6), (2) ) - ( (4), (2) ) - 1 = 8$. Giusto?
PS: tu come l'avresti risolto? Ci sono altri metodi, magari più pratici del mio?
no come metodo va anche bene in questo caso 
l'unica cosa te hai detto che al massimo con sei numeri puoi ottenere come somma di due a due 9 numeri dispari ma non è detto che siano primi. Nel senso magari i numeri dispari sono 9 ma i primi al massimo 8. Quindi fai un esempio in cui con 6 numeri ottieni 9 numeri primi e sei a posto
l'unica cosa te hai detto che al massimo con sei numeri puoi ottenere come somma di due a due 9 numeri dispari ma non è detto che siano primi. Nel senso magari i numeri dispari sono 9 ma i primi al massimo 8. Quindi fai un esempio in cui con 6 numeri ottieni 9 numeri primi e sei a posto
"Half95":
l'unica cosa te hai detto che al massimo con sei numeri puoi ottenere come somma di due a due 9 numeri dispari ma non è detto che siano primi.
Infatti ho specificato che quel numero è
"wrugg25":
il massimo numero di primi ottenibile, supponendo che ogni somma riporti un numero primo
Comunque, tu mi consigli di aggiungere, alla fine della mia dimostrazione, qualcosa come
Giusto?
esatto per completezza meglio metterlo
Allora avrò cura di inserirlo
PS: tu come risolveresti un esercizio del genere?
Mi sta facendo impazzire
PS: tu come risolveresti un esercizio del genere?
Sia $x_0 = 0$ e $xk > 0$ $(k = 1; ...; n)$. Dimostrare che:
$ sum_(k=1)^(n)x_k/(sqrt(1+sum_(i=0)^(k-1)x_i)* sqrt(sum_(i=k)^(n)x_i))< pi/2 $
Mi sta facendo impazzire
Direi che manca la definizione di $x_k$ per $k>=1$; detto così sembra che possano essere numeri positivi qualsiasi. In questo caso, con $n=2,x_1=3, x_2=16$ io trovo che la somma è maggiore di $2$, in contrasto con la tesi.
"giammaria":
Direi che manca la definizione di $x_k$ per $k>=1$
Come pensavo... infatti la soluzione fornita in allegato al PDF del test (prova "Matematica 1" del test 2011/2012: http://www.scuolasuperiorecatania.it/wp ... 5/2011.zip ) è incomprensibile, perchè parte da presupposti che non trovano ragione o riscontri nel testo...
si sono dimenticati di scrivere che la somma degli $x_k$ è 1
si sono dimenticati di scrivere che la somma degli $x_k$ è 1
Infatti 
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