Terne pitagoriche primitive con lo stesso cateto dispari

[Erasmus_First]

Quante (e quali) sono le terne pitagoriche primitive – diciamole [x, y, z] – con il "cateto" dispari che vale 15015 ?
_______

[axpgn]

Prima concludi questo ...

[orsoulx]

Visto che Erasmus svicola, provo a rispondere.

La misura dell'ipotenusa $ c $ di una terna pitagorica primitiva deve essere un numero nella cui scomposizione compaiono solo fattori primi della forma $ p_i= 4k_i+1 $. Il numero di terne pitagoriche primitive aventi la stessa ipotenusa si calcola contando quanti fattori $ p_i $ diversi compaiono nella scomposizione (la loro molteplicità non conta): se questi sono $n$, se cioè $ c=prod_{i=1}^n p_i^{alpha_i}$, vi saranno $ N=2^(n-1) $ terne diverse.
Dal conteggio delle terne primitive a quello delle terne potagoriche qualsiasi il passo è breve. Vediamo se Erasmus ci prova.

Ciao

[axpgn]

, perfetto! Vediamo se Erasmus interviene ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Per completare, nel caso qualcuno fosse interessato ...

Come detto da orsoulx, affinché un numero possa fungere da ipotenusa in una terna primitiva, tutti i suoi fattori primi devono essere nel formato $4n+1$.
È sufficiente invece che ve ne sia almeno uno di quella tipologia perché un numero possa fungere da ipotenusa per una terna non primitiva.
Inoltre se [size=150]$N=2^(a_0)q_1^(a_1)q_2^(a_2)...q_n^(a_n)p_1^(b_1)p_2^(b_2)...p_m^(b_m)$[/size] dove i $p_i$ sono quelli nel formato $4k_i+1$

allora il numero $N$ può fungere da ipotenusa in $h=((2b_1+1)(2b_2+1)...(2b_m+1)-1)/2$ terne pitagoriche non primitive.

Detto questo, se qualcuno vuole, può divertirsi nel trovare il minore tra i numeri che possono fungere da cateto in esattamente $1000$ terne pitagoriche

Cordialmente, Alex