Terne pitagoriche primitive con lo stesso cateto dispari

[Erasmus_First]

Quante (e quali) sono le terne pitagoriche primitive – diciamole [x, y, z] – con il "cateto" dispari che vale 15015 ?
_______

[axpgn]

Dovrebbero essere $16$

Cordialmente, Alex

[axpgn]

E per il secondo cateto questa dovrebbe essere la lista:

$4.712$
$9.472$
$16.048$
$24.568$
$35.752$
$73.352$
$91.408$
$102.968$
$255.392$
$500.888$
$666.928$
$931.552$
$2.300.488$
$4.508.992$
$12.525.008$
$112.725.112$

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"axpgn":

E per il secondo cateto questa dovrebbe essere la lista:[...]

Il quiz ... non l'avevo ancora risolto!
Ma vedo che va bene sia il cateto pari minimo – (143^2 - 105^2)/2 – che quello pari massimo – (15015^2 - 1)/2 –.
[«Ma come è bravo Li!» ]
------
A 'n vedi, Alex, l'associazione di idee col tuo quiz da un milione?.
Occorre trovare il numero di modi con cui si può fattorizare 15015 con due fattori naturali. diciamo p·q = 15015.
Dopo di che il cateto pari è |p^2 - q^2|/2 e l'ipotenusa (p^2 +. q^2)/2.
[Facilissimo perché 15015 = 1·2.3·5·7·11·13 (tutti fattori primi semplici). Sarebbe un po' meno facile! – ma solo un po' – se il cateto dispari avesse fattori primi multipli. Allora i fattori p e q dovrebbero essere "coprimi"

[axpgn]

@Erasmus

Dato un intero positivo $N$, questo può fungere da cateto in una terna pitagorica primitiva in $2^(n-1)$ modi, dove $n$ è il numero di primi nella scomposizione di $N$ (Es. $N=60=2^2*3*5$ da cui $n=3$ perciò i modi sono $2^(3-1)=4$ oppure $N=15015=3*5*7*11*13$ da cui $n=5$ e i modi sono $2^(5-1)=16$).
Sono ben accette dimostrazioni

EDIT: Dimenticanza

Eccezione alla regola: se $N$ è pari e non è divisibile per $4$ allora $N$ non può essere il cateto di nessuna terna pitagorica primitiva.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"Erasmus_First":...Sarebbe un po' meno facile! – ma solo un po' – ...

Credo che sarebbe proprio la stessa cosa: per le terne pitagoriche primitive conta solo il numero di fattori primi diversi, non la loro molteplicità.
Una curiosità.

Tutto giusto quel che dice Alex (per le dimostrazioni ci vuole veramente poco). Ho provato a conteggiare, nel caso di fattori primi tutti dispari e con molteplicità uno, il numero complessivo delle terne pitagoriche, trovando, salvo errori, $ (3^n-1)/2 $, che nel caso in esame, dove $ n=5 $, restituisce $ 121 $. Poffarbacco! un quadrato perfetto.
A parte i casi $ n=2, n=3 $ e $ n=5 $, ve ne saranno altri? Non conosco la risposta.

Ciao

[axpgn]

"orsoulx":... il numero complessivo delle terne pitagoriche, ...

Intendi primitive e non? Era la domanda che volevo proporre ... ... ovviamente sei sulla buona strada ...

Per la precisione sarebbe: trovare una formula per determinare il numero di terne pitagoriche, primitive e non, per cui un dato intero $N$ può fungere da cateto.

[ot]Questo thread di Erasmus mi ha fatto ricordare qualcosa che avevo letto tempo fa e di cui mi ero "segnato" qualcosina (o meglio "fotografato" perché coi "potenti mezzi" di cui ora dispongo ( ) è più facile che prendere appunti, cosa che non sono mai stato capace di fare)[/ot]

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":Intendi primitive e non?

Naturalmente. Comunque mi interessa di più l'altra discussione: di terne pitagoriche ne ho la nausea.
Ciao

[axpgn]

Ma piacciono tanto a Erasmus ... (d'altra parte questa discussione è sua ...)

[Erasmus_First]

"orsoulx": [...] conta solo il numero di fattori primi diversi, non la loro molteplicità.

Ragione hai! [Un "lapsus" fu, dato che avevo detto che i due fattori devono essere coprimi],

"orsoulx":[...] casi $ n=2, n=3 $ e $ n=5 $, ve ne saranno altri? Non conosco la risposta. [...]

La domanda è:
«Per quali $n$ interi positivi $(3^n-1)/2$ è il quadrato d'un intero?»
Neanch'io conosco la risposta per $n > 5$. [Non ne ho trovati per $6 ≤ n ≤ 26$.]
Occhio, però: hai messo $n=3$ che non c'entra e hai omesso il caso $n=1$.
Ciao ciao

_______

[orsoulx]

"Erasmus_First":Occhio, però: hai messo $ n=3$ che non c'entra e hai omesso il caso $n=1$.

Quasi, ho, erroneamente, aggiunto $ 1 $ , confondendomi con il caso delle sole terne pitagoriche primitive.
Ciao e grazie.

[axpgn]

"Erasmus_First":Non ne ho trovati per $ n ≤ 6 ≤ 26 $

Sono arrivato fino a $n=64$ senza trovarne ... urge calcolatore più potente ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Ripropongo la domanda ...

"axpgn":... trovare una formula per determinare il numero di terne pitagoriche, primitive e non, per cui un dato intero $N$ può fungere da cateto. ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":Ma piacciono tanto a Erasmus ... (d'altra parte questa discussione è sua ...)

Mah! Veramente mi pare abbia proposto altro la scorsa notte e allora provo una risposta alla tua pressante richiesta .

Se il cateto è lungo $ N $, scomposto in fattori primi $ N/(1+cos^2(N \pi/2))=p_1^(\alpha_1) *p_2^(\alpha_2)*...*p_k^(\alpha_k) $,
il numero di terne pitagoriche con cateto $ N$ è:
$T(N)=lfloor (2k-1)/(3k-2) rfloor \alpha_1+ lfloor (3k-2)/(2k) rfloor(prod_(i=1)^k (2 \alpha_i+1)-1)/2$

Ciao

[axpgn]

Questa è la formula che conosco per determinare il numero di terne pitagoriche, primitive e non, in cui un dato intero $N$ può costituire un cateto:

Dato $N=2^(e_0)*p_1^(e_1)*p_2^(e_2)*...*p_n^(e_n)$ allora $T=((2e_0-1)*(2e_1+1)*(2e_2+1)*...*(2e_n+1)-1)/2$

La produttoria è molto simile ma il resto non saprei come farcelo entrare ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":Questa è la formula che conosco...

Mi pare che la formula che 'conosci' (non è dato sapere come) lasci qualche perplessità quando $ N $ è dispari. In questa situazione, l'imposizione del fattore $ 2 $, porterebbe a $ e_0=0 $ e quindi a $T(N) <0 $. Problema che si risolve facilmente introducendo un valore assoluto: $ |2e_0-1| $, oppure di tutto il prodotto.
La mia, notevolmente e, in parte, volutamente, più complicata porta ai medesimi risultati.

Ciao

[axpgn]

Sì, esattamente, nello scrivere la formula il valore assoluto è diventato una parentesi ... ...

Perché "volutamente" (se posso chiedere ...) ?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:

"axpgn":Perché "volutamente"

Perché ho risolto il comportamento difforme dei pari dai dispari in maniera diversa dalla tua, decidendo di distinguere i due casi: dispari si scompone direttamente, pari si divide prima per due. Dopo aver ottenuto questa differenza con quel diviso per $ 1+cos^2(N\pi/2) $, mi son ricordato di quando hai affermato di non aver mai visto usare nelle scuole secondarie il famigerato $ (-1)^n $ ed allora ho rincarato la dose .

Ciao

[dan952]

È passato un mese e mezzo, ancora a parlare di terne stiamo

[axpgn]

Perché no? Anzi, per chiudere il cerchio (sarebbe meglio dire "per chiudere il triangolo rettangolo") manca l'ipotenusa quindi ...

- Dato un intero positivo $N$, in quante terne pitagoriche primitive può fungere da ipotenusa ?
- Dato un intero positivo $N$, in quante terne pitagoriche, primitive e non, può fungere da ipotenusa ?

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"orsoulx":[...] di terne pitagoriche ne ho la nausea.[...]

"axpgn":Ma piacciono tanto a Erasmus ... )

Ahh così?
Allora ... beccatevi un altro quiz su triangoli rettangoli (non necessariamente con lati commensurabili).
Vado subito ad aprire un nuovo thread apposito!
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