[Teoria dei numeri] Fattori dispari della stessa forma
Siano $p$ e $q$ coprimi. Allora ogni fattore dispari di $p^2+3q^2$ è anch'esso della forma $c^2+3d^2$.
Risposte
"dan95":Intendi dire che anche c e d sono coprimi?
Siano $p$ e $q$ coprimi. Allora ogni fattore dispari di $p^2+3q^2$ è anch'esso della forma $c^2+3d^2$.
Per esempio:
p = 55; q = 21;
p^2 + 3 · 21^2 = 3025 + 3· 441 = 4348 = 4·1087
1087 è primo (unico divisore dispari di 4348).
1087 = 4 + 3·361 ——> c=2; d = 19.
–––––––––
Ma ... è una congettura non ancora dimostrata o ce la presenti come dimostrabile a livello scuola pre-universitaria?
No no è dimostrata
Hint:
Hint:
Provo con i cannoni... vediamo se mi riesce di usarli.
Sappiamo che $Z[\sqrt{-3}]$ è un UDF.
Chiamo $r$ il primo dispari t.c. $ r|p^2+3q^2$. Quindi $r |(p+\sqrt{-3}q)(p-\sqrt{-3}q)$. Vediamo che $r$ non è primo in $Z[\sqrt{-3}]$. Se $r$ fosse primo allora $r$ deve dividere uno dei due fattori, ovvero per esempio $p+\sqrt{-3}q = r (a+\sqrt{-3}b)$. Ma allora $p=ra$ e $q=rb$ e e $p$ ed $q$ non sarebbero coprimi. Analogamente se $r$ divide l'altro fattore. Quindi $r$ non è primo ed in particolare posside fattorizzazione non banale $r= (a_1+\sqrt{-3}b_1) (a_2+\sqrt{-3}b_2)$ dove entrambi gli elementi a destra sono sono non invertibili. Sviluppando il prodotto annullare la parte immaginaria impone $\rho=\frac{a_1}{a_2}=-\frac{b_1}{b_2}$. Mentre la parte reale diventa $r=\rho(a_2^2+3b_2^2)$. Allora $\rho$ è intero e uguale ad $1$ o $r$. Nel primo caso abbiamo la tesi. Il secondo caso implica $b_2=0$, $b_1=0$ , $a_2= \pm 1$ e $a_1 =\pm r$. Ma allora nella fattorizzazione iniziale uno dei due fattori era invertibile quindi questo caso non è possibile. []
Sinceramente però non so dove ho usato che $r \ne 2$...
... forse ho toppato l'algebra? Non che questi anelli siano il mio pane quotidiano 
Sappiamo che $Z[\sqrt{-3}]$ è un UDF.
Chiamo $r$ il primo dispari t.c. $ r|p^2+3q^2$. Quindi $r |(p+\sqrt{-3}q)(p-\sqrt{-3}q)$. Vediamo che $r$ non è primo in $Z[\sqrt{-3}]$. Se $r$ fosse primo allora $r$ deve dividere uno dei due fattori, ovvero per esempio $p+\sqrt{-3}q = r (a+\sqrt{-3}b)$. Ma allora $p=ra$ e $q=rb$ e e $p$ ed $q$ non sarebbero coprimi. Analogamente se $r$ divide l'altro fattore. Quindi $r$ non è primo ed in particolare posside fattorizzazione non banale $r= (a_1+\sqrt{-3}b_1) (a_2+\sqrt{-3}b_2)$ dove entrambi gli elementi a destra sono sono non invertibili. Sviluppando il prodotto annullare la parte immaginaria impone $\rho=\frac{a_1}{a_2}=-\frac{b_1}{b_2}$. Mentre la parte reale diventa $r=\rho(a_2^2+3b_2^2)$. Allora $\rho$ è intero e uguale ad $1$ o $r$. Nel primo caso abbiamo la tesi. Il secondo caso implica $b_2=0$, $b_1=0$ , $a_2= \pm 1$ e $a_1 =\pm r$. Ma allora nella fattorizzazione iniziale uno dei due fattori era invertibile quindi questo caso non è possibile. []
Sinceramente però non so dove ho usato che $r \ne 2$...
... forse ho toppato l'algebra? Non che questi anelli siano il mio pane quotidiano
Lascia stare i cannoni... È più elementare
Eheh... beh ma io mi voglio esercitare con i cannoni per il momento 
... più che altro per imparare a usare tecniche diverse dallo standard elementare ...
poi certo posso cercare anche la soluzione elementare e se nessun altro più giovane la posta posso intervenire ma per il momento mi interessa analizzare l'approccio sopra... questione di intenti
... più che altro per imparare a usare tecniche diverse dallo standard elementare ... poi certo posso cercare anche la soluzione elementare e se nessun altro più giovane la posta posso intervenire ma per il momento mi interessa analizzare l'approccio sopra... questione di intenti
Ci penso dopo o domani con più calma, l'ultima parte non mi convince...perché $\rho$ è intero?
Grazie mille! Giusto a quel punto mi sono confuso così non si può concludere... forse lì può entrare l'ipotesi $r \ne 2$... provo poi a vedere se si riesce a sistemare! Mi piacerebbe risolvere il mio primo problema con anelli con banali altrimenti back to elementary!
altrimenti back to elementary!
$ZZ[\sqrt{-3}]$ non è un UDF poiché ad esempio $4=2^2=(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})$...
Cavoli davvero? Andiamo bene allora non si può mettere a posto per niente se la fattorizzazione che dici è effettivamente diversa...
Ma mi sembrava di aver controllato...
:
https://en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number
Ma mi sembrava di aver controllato...
:https://en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number
Supponendo che sia UDF si può (o sarebbe potuto a questo punto?) continuare così. Provo giusto per esercizio dan95 in quanto non ho trovato problemi nella fattorizzazione che hai proposto...
Nella fattorizzazione per $r$ wlog $(a_2,b_2)=1$, altrimenti si raccoglie l'm.c.d. e lo si sposta sull'altro fattore. L'equazione per p diventa:
$p=\frac{a_1}{a_2}(a_2^2+3b_2^2)$
Ora $a_2 | a_1 (a_2^2+3b_2^2)$. Ma $a_2$ ha pochi fattori in comune con $(a_2^2+3b_2^2)$ in quanto se $q|a_2$ e $q|a_2^2+3b_2^2$ allora $q|3b_2^2$. Quindi $q|3$ e $q=1$ o $q=3$.
Distinguiamo i due casi.
Se $q=1$, allora $a_2 | a_1$ e $\rho$ è intero e si prosegue come indicato nel post precedente.
Se $q=3$ si riscrive $p=\frac{a_1}{a_2/3}(b_2^2+3(a_2/3)^2)$ e di nuovo ora si deduce che $a_2/3 | a_1$, e si procede come prima.
Se l'anello non è UDF nulla di tutto ciò ha senso...
Nella fattorizzazione per $r$ wlog $(a_2,b_2)=1$, altrimenti si raccoglie l'm.c.d. e lo si sposta sull'altro fattore. L'equazione per p diventa:
$p=\frac{a_1}{a_2}(a_2^2+3b_2^2)$
Ora $a_2 | a_1 (a_2^2+3b_2^2)$. Ma $a_2$ ha pochi fattori in comune con $(a_2^2+3b_2^2)$ in quanto se $q|a_2$ e $q|a_2^2+3b_2^2$ allora $q|3b_2^2$. Quindi $q|3$ e $q=1$ o $q=3$.
Distinguiamo i due casi.
Se $q=1$, allora $a_2 | a_1$ e $\rho$ è intero e si prosegue come indicato nel post precedente.
Se $q=3$ si riscrive $p=\frac{a_1}{a_2/3}(b_2^2+3(a_2/3)^2)$ e di nuovo ora si deduce che $a_2/3 | a_1$, e si procede come prima.
Se l'anello non è UDF nulla di tutto ciò ha senso...
Non è un UDF XD
Ma dove si trova allora un elenco degli d t.c. $Z[\sqrt(-d)]$ sia UDF ? Io ho trovato solo quella pagina di Wikipedia forse la ho male interpretata...
Quello è $Q[\sqrt{-d}]$ estensione quadratica di un campo e quindi un campo (dominio euclideo -> PID -> UDF)... Non lo so comunque mi sembra se non ricordo male che è un problema irrisolto.
"Thomas":
Ma dove si trova allora un elenco degli d t.c. $Z[\sqrt(-d)]$ sia UDF ? Io ho trovato solo quella pagina di Wikipedia forse la ho male interpretata...
Non si scrive UFD (unique factorization domain)? Comunque, per $d \geq 3$ non lo è mai.
@vincent
Hai ragione: UFD
Dove hai visto che per $d \geq 3$ risulta che $ZZ[\sqrt{-d}]$ è un UFD?
Hai ragione: UFD
Dove hai visto che per $d \geq 3$ risulta che $ZZ[\sqrt{-d}]$ è un UFD?
Ho scritto che non lo è.
Ok mea culpa che sono andato fuori tema... ... cmq lo avevo letto su qualche pagina di Wikipedia ma probabilmente avevo frainteso le notazioni...
Per una soluzione elementare proverei a fattorizzare $c^2+3d^2$ (o un qualche suo parente...) come prodotto di fattori dello stesso tipo...
... cmq lo avevo letto su qualche pagina di Wikipedia ma probabilmente avevo frainteso le notazioni...Per una soluzione elementare proverei a fattorizzare $c^2+3d^2$ (o un qualche suo parente...) come prodotto di fattori dello stesso tipo...
@vicent
Sto rinco scusa, volevo dire "...che non lo è?"
Sto rinco scusa, volevo dire "...che non lo è?"
Domenica posto la soluzione.
ok 
Scrivo una osservazione che può essere utile. Magari a qualcuno dà qualche spunto e riesce a risolverlo prima della deadline
Se $r$ è un fattore primo che diverso da $3$ che divide $p^2+3q^2$ allora $r$ non divide né $p$ né $q$ (qui usiamo che $p$ e $q$ sono comprimi). Abbiamo in particolare che $p$ e $q$ sono invertibili modulo $r$ e scelto un rappresentante per $p^{-1}$ abbiamo $p^2(1+3q^2p^{-2})=0 (mod r)$, ovvero $(1+3q^2p^{-2})=0 (mod r)$. Insomma $r | 1+3q^2p^{-2}$ e se chiamiamo $qp^{-1}=x$, si ottiene $r |1+3x^2$, con $0 \le x \le (r-1)$.
Ora non è che voglio dire che $-3$ è un residuato quadratico modulo $r$ e lanciare il tutto in quella direzione in quanto nemmeno quella sarebbe una dimostrazione elementare
... La manfrina precedente era per vedere che (forse) ci possiamo ridurre al caso con $p=1$.
Scrivo una osservazione che può essere utile. Magari a qualcuno dà qualche spunto e riesce a risolverlo prima della deadline
Se $r$ è un fattore primo che diverso da $3$ che divide $p^2+3q^2$ allora $r$ non divide né $p$ né $q$ (qui usiamo che $p$ e $q$ sono comprimi). Abbiamo in particolare che $p$ e $q$ sono invertibili modulo $r$ e scelto un rappresentante per $p^{-1}$ abbiamo $p^2(1+3q^2p^{-2})=0 (mod r)$, ovvero $(1+3q^2p^{-2})=0 (mod r)$. Insomma $r | 1+3q^2p^{-2}$ e se chiamiamo $qp^{-1}=x$, si ottiene $r |1+3x^2$, con $0 \le x \le (r-1)$.
Ora non è che voglio dire che $-3$ è un residuato quadratico modulo $r$ e lanciare il tutto in quella direzione in quanto nemmeno quella sarebbe una dimostrazione elementare
... La manfrina precedente era per vedere che (forse) ci possiamo ridurre al caso con $p=1$.
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