[Teoria dei numeri] Fattori dispari della stessa forma

[dan952]

Siano $p$ e $q$ coprimi. Allora ogni fattore dispari di $p^2+3q^2$ è anch'esso della forma $c^2+3d^2$.

[Pachisi]

Forse questo:
Sia $r$ un primo che divide $p^2+3q^2$. Allora, $r$ non divide né $p$ né $q$. Allora, $p=rx+a$, $q=rx+b$, $a,b,x$ interi. Allora, $p^2+3q^2=(rx+a)^2+3(rx+b)^2=a^2+3b^2+Qx$ con $Q$ intero. Allora $x$ divide $a^2+3b^2$. Discesa infinita. $x$ deve essere della forma $c^2+3d^2$.

[consec]

Per poter applicare il principio della discesa infinita andrebbe mostrato che $a^2+3b^2

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[dan952]

Vi siete fissati con $r$ primo...comunque la strada di Pachisi è giusta

[consec]

Senza perdita di generalità si può dimostrare la tesi per $r$ primo in quanto l'insieme dei termini della forma $x^2+ny^2$ con $n$ intero è chiuso rispetto alla moltiplicazione, quindi ogni fattore dispari $d$ potrebbe essere scritto come prodotto di numeri primi dispari che comunque dividono il numero originale.

[Thomas16]

Mmm... se la strada di Pachisi è giusta, allora forse possiamo cercare la soluzione in queste linee.

Pachisi ha sostituito a $c$ ed a $d$ i rappresentanti modulo $r$ t.c. questi siano compresi tra $0$ ed $r-1$.

Il punto debole secondo me è che al primo passo la discesa infinita si ferma in quanto alla prossima scelta dei rappresentanti i numeri rimarranno uguali e non abbiamo certezze di avere raggiunto un primo.

Possiamo fare qualcosa per sistemare la situazione? Forse possiamo moltiplicare entrambi i rappresentanti per $2$ ad-libitum (usando che r non è due di modo che il numero continua ad essere divisibile per r) e prendere dei nuovi rappresentanti modulo r ogni volta in maniera da generare una discesa infinita? Bisogna ovviamente capire se si riesce a fare questo in un modo sensato...

Non vorrei portare fuori strada eh...

Edit: avevo fatto un cat and paste nel posto sbagliato ed una frase non si capiva... corretto.

[Thomas16]

Giusto per confondere le acque e continuare il ragionamento...

Se $r| c^2+3d^2$ allora $r|(2^nc)^2+3(2^nd)^2$. Chiamo $[x]_r$ il rappresentante compreso tra $0$ ed $r-1$ modulo $r$ (esiste una notazione standard?).

Cerchiamo di limitare $[2^nc]_r^2+3[2^nd]_r^2$. Se riusciamo a renderlo minore di $2r-1$ siamo vicini alla fine in quanto l'unico divisore di $r$ minore di $2r-1$ è $r$ ( o 1).

Visto che $r$ è primo e che non divide $d$ abbiamo che $[2^n d]_r = 1 $ per qualche $n$. Questo segue dal fatto che l'ordine di $2$ modulo $r$ è $r$ e quindi $2^n d$ spazza tutto i rappresentanti.

Idem per $[2^n c]_r$. Il problema è che le limitazioni dei due addendi andrebbero fatte contemporaneamente...

[dan952]

@consec
Dimostramelo che è chiuso rispetto alla moltiplicazione

Hint:

Sia $x$ fattore dispari di $p^2+3q^2$, allora esistono $c,d,m,n \in ZZ$ tali che $p=mx \pm c$ e $q=nx \pm d$ con $|c|

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[consec]

"dan95":@consec
Dimostramelo che è chiuso rispetto alla moltiplicazione

Hint:

Sia $x$ fattore dispari di $p^2+3q^2$, allora esistono $c,d,m,n \in ZZ$ tali che $p=mx \pm c$ e $q=nx \pm d$ con $|c|

È un risultato noto, conseguenza dell'identità di Brahmagupta.

Comunque dal tuo hint mi pare si debbano prendere in maniera furba i resti positivi o negativi come avevo indicato nel precedente post, è giusto? Anche perché se bastasse prendere banalmente i resti modulo il fattore il discorso funzionerebbe per qualsiasi espressione numerica.

[Thomas16]

Si consec il suggerimento sembra andare nella tua direzione!

Del resto quella scelta dei rappresentanti minimizza il modulo ed ha senso si ottenga qualcosa di piu'...

[dan952]

@consec
Non la conoscevo quell'identità, non si smette mai di imparare.

[dan952]

Proposta di soluzione:

Sia $x$ fattore dispari di $p^2+3q^2$, allora esistono $c,d,m,n \in ZZ$ tali che $p=mx±c$ e $q=nx±d$ con $|c|1$. Dunque esistono $e,f \in ZZ$ coprimi tali che $m^2(e^2+3f^2)=c^2+3d^2

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[Thomas16]

Ciao dan95,

"poiché $x$ non è della forma $a^2+3b^2$ allora esiste in $y$ un fattore dispari minore di $x$ anch'esso non di quella forma" -> potresti spiegare meglio questa parte? Non ho ben capito come procedi alla fine..

[dan952]

Questa è una parte un pò delicata (infatti ho aggiunto il termine "proposta")... La soluzione è stata presa [url=https://www.google.it/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://loi.sc.unica.it/tesi/tesiSManca.pdf&ved=0ahUKEwjb6s7Qo87PAhWDCBoKHXrwAjQQFggbMAA&usg=AFQjCNHRWicbJNMM3xPCvASOBd6zLBWeEQ&sig2=Vyaui5i1ck_pDyqusZ_N-Q]qui[/url] è il lemma 2.1.5.

Ho modificato un pò la dimostrazione perché presentava delle lacune, tipo quella...
Se iteriamo il procedimento su $e^2+3f^2$ otteniamo una nuova coppia di coprimi $g,h$ tali che $g^2+3h^2=xz$ con $z

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[Thomas16]

Ma quando dici che iteri il procedimento lo vuoi applicare a $e^2+3f^2$ e quale suo divisore $x$ o $y$ ? (non mi tornano i conti...). Se lo iteri usando $x$ non dovresti ottenere nuovamente $g^2+3h^2=x z$ con $z < x$ ? Come ottieni $z < y$ ?

[dan952]

C'è da sistemare un pò di cose...

[consec]

La dimostrazione proposta in questo sito dovrebbe essere un po' più solida (anche se l'impaginazione è atroce).

[Thomas16]

Grazie del link ! Il sito ha anche una dimostrazione più corta nei commenti forse preferibile. Non ne ho controllata nessuna delle due al momento...

Gira e rigira cmq mi sembra le idee siano quelle che abbiamo tirato fuori (senza concludere però...), solo bisogna vedere chi è riuscito a metterle assieme in un modo coerente...

Ah buon inizio settimana a tutti