Teoria dei Numeri

[.Ruben.17]

Sia $p$ un numero primo maggiore di $2$
Scriviamo:
$1+1/2+...+1/(p-1) = m/n$
dove $m$ e $n$ sono interi positivi coprimi.
Dimostrare che $p$ divide $m$

[consec]

Provo a dare una dimostrazione:

L'espressione può essere scritta come:

$((p-1)!+((p-1)!)/2+((p-1)!)/3+...+((p-1)!)/(p-1))/((p-1)!)$

Si vuole dimostrare che il numeratore è multiplo di $p$.
Dal teorema di Wilson, sappiamo che tutti i fattori di $(p-1)!$ diversi da $p-1$ e $1$ possono essere accoppiati a due a due in modo tale che il loro prodotto sia congruo a $1modp$ e che il prodotto dei due estremi è invece congruo a $-1modp$.
Da queste premesse segue che $(p-1)!-=(1×1×1×...×-1)modp-=-1modp$.
Notiamo che il numeratore è la somma di $p-1$ addendi diversi,tutti uguali al fattoriale di $(p-1)!$ senza uno dei fattori. Dunque per ogni addendo uno dei fattori rimane "spaiato", e il resto modulo $p$ è uguale al prodotto dei resti delle altre coppie (ossia $1$ e $-1$) per il fattore non accoppiato.
Per fare un esempio, dato che nel fattoriale di $(11-1)!$ il $3$ è accoppiato al $4$, allora $(10!)/3$ è congruo a $(-1×1×1×...×4)mod11=-4mod11$.
Poiché tale accoppiamento è unico, i $p-1$ addendi avranno ognuno un resto diverso modulo $p$, dunque il numeratore sarà congruo alla somma di tutti gli interi compresi tra $1$ e $p-1$.
Dunque il numeratore è uguale a $(1+2+3+4+...+(p-1))modp=(p(p-1))/2modp$.
Essendo $p$ dispari, $(p-1)/2$ è intero, dunque esiste un intero $n$ tale che il numeratore è congruo a $(np)modp$, e dunque è multiplo di $p$.

[.Ruben.17]

Sto dal telefono che non carica alcune formule, ma la dimostrazione sembra buona

Io avrei usato gli inversi moltiplicativi e qualche nozione di insiemistica per formalizzare il fatto che il numeratore è congruo alla somma dei resti, ma come hai fatto tu va comunque molto bene
Magari posto la mia domani