Sulla divisibilità per \(3\)
Purtroppo penso che deluderò i lettori 
...
Dimostrare il teorema seguente:
...Dimostrare il teorema seguente:
Un numero \(n\) è divisibile per \(3\) se e solo se la somma delle cifre di \(n\) è divisibile per \(3\).Buon divertimento.
Risposte
Visto che gli interessati ( leggi studenti di primo e secondo pelo ...) latitano, mi ci metto io. Hai visto mai che ne ricaviamo qualche insegnamento...
Nella numerazione decimale un naturale N si può scrivere così:
(1) \(\displaystyle N=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+....+10a_1+a_0 \)
Osservo ora che è :
\(\displaystyle 10^p=(9+1)^p=\binom{p} {0} 9^p+\binom{p} {1} 9^{p-1} +\binom{p} {2} 9^{p-2}+....+ \binom{p} {p-1} 9+1=9A_p+1\)
dove \(\displaystyle A_p\) indica una certa somma ottenuta mettendo in evidenza il fattore 9 laddove possibile.
Sostituendo in (1) risulta:
\(\displaystyle N=a_n(9A_n+1)+a_{n-1}(9A_{n-1}+1)+a_{n-2}(9A_{n-2}+1)+....+ a_1(9A_1+1)+a_0\)
Ovvero :
\(\displaystyle N=9(a_n A_n+a_{n-1}A_{n-1}+a_{n-2}A_{n-2}+....+a_1A_1)+ (a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+....+a_1+a_0) \)
Sa qui si ricava che N è divisibile per 9 ( o per 3) solo e solo se è tale la somma \(\displaystyle (a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+....+a_1+a_0) \), ovvero la somma delle cifre di N.
Esiste anche una dimostrazione con le congruenze ( mod(9) o mod(3)).
Bonus:
Dimostrare che un intero è divisibile per 7 se lo è la differenza tra il numero dato, privato dell'ultima cifra, ed il doppio di tale cifra .
Esempio : 329 è divisibile per 7 ? La risposta è si. Infatti si ha : 32-18=14 che è divisibile per 7...
Nella numerazione decimale un naturale N si può scrivere così:
(1) \(\displaystyle N=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+....+10a_1+a_0 \)
Osservo ora che è :
\(\displaystyle 10^p=(9+1)^p=\binom{p} {0} 9^p+\binom{p} {1} 9^{p-1} +\binom{p} {2} 9^{p-2}+....+ \binom{p} {p-1} 9+1=9A_p+1\)
dove \(\displaystyle A_p\) indica una certa somma ottenuta mettendo in evidenza il fattore 9 laddove possibile.
Sostituendo in (1) risulta:
\(\displaystyle N=a_n(9A_n+1)+a_{n-1}(9A_{n-1}+1)+a_{n-2}(9A_{n-2}+1)+....+ a_1(9A_1+1)+a_0\)
Ovvero :
\(\displaystyle N=9(a_n A_n+a_{n-1}A_{n-1}+a_{n-2}A_{n-2}+....+a_1A_1)+ (a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+....+a_1+a_0) \)
Sa qui si ricava che N è divisibile per 9 ( o per 3) solo e solo se è tale la somma \(\displaystyle (a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+....+a_1+a_0) \), ovvero la somma delle cifre di N.
Esiste anche una dimostrazione con le congruenze ( mod(9) o mod(3)).
Bonus:
Dimostrare che un intero è divisibile per 7 se lo è la differenza tra il numero dato, privato dell'ultima cifra, ed il doppio di tale cifra .
Esempio : 329 è divisibile per 7 ? La risposta è si. Infatti si ha : 32-18=14 che è divisibile per 7...
"ciromario":
Visto che gli interessati ( leggi studenti di primo e secondo pelo ...) latitano [...]
Esiste anche una dimostrazione con le congruenze ( mod(9) o mod(3)).
Ne avevo trovata una che si serviva dei moduli, per questo non l'ho postata: in questa sezione si suppone di risolvere i problemi con le conoscenze delle superiori (anzi, non dovremmo nemmeno intrometterci più di tanto noi universitari, mi sa...
).
"Zero87":
..(anzi, non dovremmo nemmeno intrometterci più di tanto noi universitari, mi sa...
Ma visto che gli studenti delle superiori sono latitanti, siete benvenuti, almeno per far decollare il forum.
La mia proposta di soluzione è meno elegante di quella di ciromario, ma più semplice.
Ogni potenza ennesima di 10 può essere scritta come il successivo di un numero formato da $n$ nove
$10^1=9+1$
$10^2=99+1$
$10^3=999+1$
...
Quindi ogni numero $a_0+a_1*10+ ... + a_n*10^n=a_0+a_1+ ... + a_n +9k$ è dato dalla somma delle cifre + un multiplo di 9
In questo modo si spiega sia la divisibilità per 3 che quella per 9.
Per quanto riguarda la divisibilità per 7
Ad @melia: è la dimostrazione che attendevo!
A ciromario: mi hai preceduto col rilancio!
Ai bimbi della scuola secondaria: ora che sapete come fare, provate a determinare i criteri di divisibilità per \(2;4;5;10;11;25\)
A ciromario: mi hai preceduto col rilancio!
Ai bimbi della scuola secondaria: ora che sapete come fare, provate a determinare i criteri di divisibilità per \(2;4;5;10;11;25\)
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