Sui triangoli rettangoli
Il seguente esercizio, classicissimo, si può risolvere in diversi modi elementari, perciò è più che adatto ai ragazzi delle superiori che frequentano il forum.
Buon divertimento.
***
Esercizio:
Dimostrare che, tra tutti i triangoli rettangoli aventi ipotenusa assegnata, il triangolo isoscele è quello che ha massima l'altezza relativa all'ipotenusa.
Buon divertimento.
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Esercizio:
Dimostrare che, tra tutti i triangoli rettangoli aventi ipotenusa assegnata, il triangolo isoscele è quello che ha massima l'altezza relativa all'ipotenusa.
Risposte
Bello, è un classico che si può risolvere con le equazioni di II grado, usando la geometria analitica o come semplicissimo esempio di analisi.
"si può risolvere con le equazioni di II grado, usando la geometria analitica o come semplicissimo esempio di analisi."
E' l'effetto della calcolite che affligge da sempre buona parte degli studenti ( e degli insegnanti di matematica) italiani !
E' l'effetto della calcolite che affligge da sempre buona parte degli studenti ( e degli insegnanti di matematica) italiani !
Preferisco l'effetto mariocirite che (presumibilmente) ti porta a considerare l'ipotenusa come diametro di una circonferenza e a notare che il triangolo isoscele è l'unico dove l'altezza corrisponde al raggio mentre gli altri ce l'hanno più piccola 
(o non ne sono ancora abbastanza affetto?)
(o non ne sono ancora abbastanza affetto?)
Ma non sono considerazioni di geometria analitica queste?
Magarì sì, però a questo punto non è proprio analitica...
Cioè un conto è farlo a parole e un conto è calcolarsi l'equazione del generico punto di intersezione tra i cateti per poi calcolare anche la distanza generica dall'ipotenusa. Volendo lo puoi pensare anche trigonometricamente centrando l'ipotenusa nell'origine di una circonferenza goniometrica e allineata con l'asse x.
Cioè un conto è farlo a parole e un conto è calcolarsi l'equazione del generico punto di intersezione tra i cateti per poi calcolare anche la distanza generica dall'ipotenusa. Volendo lo puoi pensare anche trigonometricamente centrando l'ipotenusa nell'origine di una circonferenza goniometrica e allineata con l'asse x.
Per risolvere basta usare AMGM, attraverso il teorema di Euclide.
"mariocirite" ? Direi "ciromarite"
Posterei la mia soluzione, già anticipata in gran parte da xXStephXx, senza incognite e quindi senza equazioni ma non sono uno studente delle superiori (purtroppo !
)
Posterei la mia soluzione, già anticipata in gran parte da xXStephXx, senza incognite e quindi senza equazioni ma non sono uno studente delle superiori (purtroppo !
)
Se m'è permesso dico la mia:
capisco la posizione di C. che,presumo,sia stanco della rarità con cui si presentano casi di studenti che guardano più in fondo il territorio che con tanto impegno gli si cerca di presentare nel modo più esaustivo possibile,
ma sopratutto apprezzo molto(e non è la prima volta..)la trasversalità di trattazione,in merito ai vari gradi di maturità degli Allievi,evidenziata da quella gran Prof che ritengo sia Sara;
poi mi piace tanto,ovviamente,pure il metodo di Gugo:
da esso deduco però che abbia optato per la A049
(se lo consigli in quel modo su un Tecnico o un Professionale è facile che ai ragazzi manchino i mezzi,
perché le cattedre di Calcolo,Statistica e Probabilità son state ulteriormente ridotte,e non sempre riesce a sopperire a questa brillante scelta il Docente di Matematica, col suo monte orario per classe anch'esso diminuito..)!
Saluti dal web.
capisco la posizione di C. che,presumo,sia stanco della rarità con cui si presentano casi di studenti che guardano più in fondo il territorio che con tanto impegno gli si cerca di presentare nel modo più esaustivo possibile,
ma sopratutto apprezzo molto(e non è la prima volta..)la trasversalità di trattazione,in merito ai vari gradi di maturità degli Allievi,evidenziata da quella gran Prof che ritengo sia Sara;
poi mi piace tanto,ovviamente,pure il metodo di Gugo:
da esso deduco però che abbia optato per la A049
(se lo consigli in quel modo su un Tecnico o un Professionale è facile che ai ragazzi manchino i mezzi,
perché le cattedre di Calcolo,Statistica e Probabilità son state ulteriormente ridotte,e non sempre riesce a sopperire a questa brillante scelta il Docente di Matematica, col suo monte orario per classe anch'esso diminuito..)!
Saluti dal web.
"ciromario":
E' l'effetto della calcolite che affligge da sempre buona parte degli studenti ( e degli insegnanti di matematica) italiani !
Hai ragione, ma ho insegnato per troppi anni in un istituto tecnico in cui la geometria era vista come fumo negli occhi, sto cominciando adesso ad usarla con un po' di criterio, ma ho ancora difficoltà a "vederla" come prima scelta.
Sì, vabbé... Ma qualche studentello che voglia provare a risolvere non c'è? 
Le ho finite quest'anno le superiori, vado bene lo stesso? Ahahah
Comunque dimostrando con l'analisi:
Detta $i$ l'ipotenusa e detti $c_1,c_2$ i cateti, si ha che l'altezza vale:
$(c_1 * c_2)/i$
Per il teorema di pitagora vale:
$c_1^2 = (i^2 - c_2^2)^(1/2)$
Si ha quindi che: $h = (c_1 * (i^2 - c_2^2)^(1/2))/i$
Derivando si ottiene: $(dh)/(dc_1) = (2c_1*i^2 - 4c_1^3)/(2(c_1^2*i^2- c_1^4)^(1/2))$
Questa funzione ha il suo punto di massimo per: $2i^2 - 4c_1^2 = 0$
Cioè per $c_1 = i/(2)^(1/2) = (i*(2)^(1/2))/2$
Dalla trigonometria però sappiamo che in un triangolo rettangolo $c = i cos alpha rarr c/i = cos alpha$
Nel nostro triangolo: $c_1/i = (2)^(1/2) / 2$ che si ha per $alpha =45°$
Questo vuol dire che data un'ipotenusa il triangolo rettangolo con altezza più grande è quello che ha un angolo alla base di $45°$, ma ciò vuol dire anche l'altro angolo deve essere di $45°$ e cioè il triangolo deve essere isoscele.
Comunque dimostrando con l'analisi:
Detta $i$ l'ipotenusa e detti $c_1,c_2$ i cateti, si ha che l'altezza vale:
$(c_1 * c_2)/i$
Per il teorema di pitagora vale:
$c_1^2 = (i^2 - c_2^2)^(1/2)$
Si ha quindi che: $h = (c_1 * (i^2 - c_2^2)^(1/2))/i$
Derivando si ottiene: $(dh)/(dc_1) = (2c_1*i^2 - 4c_1^3)/(2(c_1^2*i^2- c_1^4)^(1/2))$
Questa funzione ha il suo punto di massimo per: $2i^2 - 4c_1^2 = 0$
Cioè per $c_1 = i/(2)^(1/2) = (i*(2)^(1/2))/2$
Dalla trigonometria però sappiamo che in un triangolo rettangolo $c = i cos alpha rarr c/i = cos alpha$
Nel nostro triangolo: $c_1/i = (2)^(1/2) / 2$ che si ha per $alpha =45°$
Questo vuol dire che data un'ipotenusa il triangolo rettangolo con altezza più grande è quello che ha un angolo alla base di $45°$, ma ciò vuol dire anche l'altro angolo deve essere di $45°$ e cioè il triangolo deve essere isoscele.
OK, il contazzo è giusto!
La mia soluzione in spoiler.
La mia soluzione in spoiler.
Forse forse ho trovato una soluzione geometrica senza calcolo ahahahaahahaha
Costruiamo una semicirconferenza che ha come diametro l'ipotenusa AB del triangolo rettangolo da cercare...ed è fatto!
Tutti i triangoli AbC, con C sulla circonferenza sono rettangoli... È ovvio e dimostrabile che il posto migliore per C è il punto di intersezione della circonferenza con la perpendicolare al diametro passante per il centro...
Pffff poi rileggendo alla pagina precedente ho visto che altri avevano avuto la stessa idea
arrivato tardi vabbe
Costruiamo una semicirconferenza che ha come diametro l'ipotenusa AB del triangolo rettangolo da cercare...ed è fatto!
Tutti i triangoli AbC, con C sulla circonferenza sono rettangoli... È ovvio e dimostrabile che il posto migliore per C è il punto di intersezione della circonferenza con la perpendicolare al diametro passante per il centro...
Pffff poi rileggendo alla pagina precedente ho visto che altri avevano avuto la stessa idea
arrivato tardi vabbe
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