Strana operazione

[Sk_Anonymous]

E’ assegnata una legge che ad ogni coppia di interi \(\displaystyle x, y \) associa un intero \(\displaystyle x\otimes y \) in modo che

$(1) $ \(\displaystyle x\otimes(y+z) = y\otimes x + z\otimes x \) per tutti gli interi.

Si dimostri che \(\displaystyle x\otimes y = xy(1\otimes1) \).

[giammaria2]

Nessuno risponde? Allora lo faccio io.

Ogni punto sfrutta il risultato del punto precedente, talora cambiando lettera; non lo ripeterò ogni volta.

- Con la terna $(0,0,0)$ ottengo $0 \otimes 0=0 \otimes 0+0 \otimes 0$ e quindi
$" "" "0 \otimes 0=0$

- Con la terna $(0,y,0)$ ottengo $0 \otimes y=y \otimes 0+0 \otimes 0$ e quindi
$" "" "0 \otimes y=y \otimes 0$

- Con la terna $(x,0,0)$ ottengo $x \otimes 0=0 \otimes x+0 \otimes x$ e quindi
$" "" "0 \otimes x=0$

- Con la terna $(x,y,0)$ ottengo $x \otimes y=y \otimes x+0 \otimes x$ e quindi
$" "" "x \otimes y=y \otimes x" "$ : l'operazione è commutativa

Se $x,y$ sono numeri naturali:
- Tenendo conto anche dell'ipotesi iniziale, noto che l'operazione è distributiva a destra; essendo commutativa, lo è anche a sinistra

- Con $y$ addendi, ho
$1 \otimes y=1 \otimes (1+1+...+1)=(1 \otimes 1)+(1 \otimes 1)+...+(1 \otimes 1)=y*(1 \otimes 1)$

- Con $x$ addendi, ho
$x \otimes y=(1+1+...1) \otimes y=(1 \otimes y)+(1 \otimes y)+...+(1 \otimes y)=x*(1 \otimes y)=xy
*(1 \otimes 1)$

Con interi negativi (lo zero è gia stato considerato)
Supposto che sia $z=-y$ con $x,y$ positivi, la formula iniziale diventa $x \otimes 0=y \otimes x+(-y) \otimes x$
Il primo membro è zero, quindi
$(-y) \otimes x=-(y \otimes x)=-yx (1 \otimes 1)=(-y)x (1 \otimes 1)$
Perciò la formula vale anche se un operando è negativo; stante la commutatività non importa quale. Applicando due volte questo, concludo che vale anche quando sono negativi entrambi gli operandi.

[Sk_Anonymous]

è un problema molto vecchio, ma molto carino.
non mi ricordo più con certezza neanche dove l'ho trovato, anche se credo fosse nella vecchia versione del sito AOPS (quando si chiamava mathlinks o qualcosa del genere).
Copioincollo la mia soluzione di allora (parliamo di 10 anni fa almeno):

Se z=0 e y=x la (1) da’: xOx = xOx + 0Ox per ogni x. Pertanto 0Ox = 0.
Da cui ponendo z=0 nella (1), si ottiene xOy = yOx per ogni x, y, cioe’ l’operazione O e’ commutativa. Percio’ la (1) si puo’ riscrivere come (2) (y+z)Ox = yOx + zOx.
Essendo yOx un intero, risulta che 1(yOx) = yOx = (1y)Ox.
Se ora supponiamo che k(yOx) = (ky)Ox, con k intero,
ricaviamo che (k+1)(yOx) = k(yOx)+1(yOx)=(ky)Ox+yOx) e applicando la (2), si ha:
(k+1)(yOx) =(ky+y)Ox=((k+1)y)Ox.
Pertanto per il principio di induzione, si ha che (3) z(yOx)=(zy)Ox per tutti gli interi positivi z.
La relazione e’ evidentemente verificata anche per z=0.
Dalla (2) per z=-y, si ricava che: 0 = yOx + (-y)Ox, cioe’ (4) (-y)Ox = -(yOx).
Pertanto se 0>z e quindi –z>0, per la (3) e (4), si ha
–(z(yOx))=(-z)(yOx)= (-zy)Ox=-(zy)Ox=-((zy)Ox), cioe’ z(yOx) = (zy)Ox, per tutti gli interi.

Pertanto, applicando le proprieta’ trovate, per ogni x, y si ha:

xOy = x(1Oy) = x(yO1) = x( y(1O1)) = xy(1O1).

[giammaria2]

Una bella soluzione; arrivi alla commutatività in modo più rapido del mio. Poi tu hai usato l'induzione completa ed io la sola proprietà distributiva, e qui preferisco il mio metodo. Ma è questione di gusti!