Somme di quadrati

[axpgn]

Siano $m$ e $n$ due distinti interi positivi.
Rappresentare $m^6+n^6$ come somma di due quadrati perfetti diversi da $m^6$ e $n^6$.



Cordialmente, Alex

[superpippone]

$2^6+3^6=3^2+28^2$

[axpgn]

Chiaramente quell'espressione è corretta ma non chiedevo un caso specifico ma generale dove $m$ e $n$ sono una qualsiasi coppia di interi



Cordialmente, Alex

[kilogrammo1]

$m^{6}+n^{6}=(m^{3}-2mn^{2})^{2}+(n^{3}-2nm^{2})^{2}$

[qualcuno4]

@kilogrammo Come ci sei arrivato?

[axpgn]

Non vale, dovevo chiederglielo io

@kilogrammo
Perfetto


Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Supponiamo di scomporre $m^6+n^6$ come $(m^3+am^xn^y)^2+(n^3+bm^zn^w)^2$

Sviluppando abbiamo

$m^6+n^6+a^2m^(2x)n^(2y)+2bm^zn^(w+3)+b^2m^(2z)n^(2w)+2am^(x+3)n^y$

Per ottenere il nostro $m^6+n^6$ deve verificarsi che

$a^2m^(2x)n^(2y)+2bm^zn^(w+3)+b^2m^(2z)n^(2w)+2am^(x+3)n^y=0$

Per avere una soluzione si può costruire un sistema del tipo

$\{(a^2m^(2x)n^(2y)=-2bm^zn^(w+3)),(b^2m^(2z)n^(2w)=-2am^(x+3)n^y):}$

Sistemiamo intanto i coefficienti e si calcola che $a=b=-2$

Per gli esponenti si può facilmente dimostrare che $(1,2,2,1)$ è una soluzione.

Sostituendo alla nostra espressione iniziale abbiamo $m^6+n^6=(m^3-2mn^2)^2+(n^3-2m^2n)^2$

[axpgn]

Bene!


Cordialmente, Alex