Somme con seno e coseno

[.Ruben.17]

Calcolare
$cos(15°)+cos(35°)+cos(55°)+...+cos(315°)+cos(335°)$
Generalizzare il procedimento e trovare una forma chiusa per il calcolo delle seguenti somme
[tex]\sum _{k=1}^{n} cos(ak+b)[/tex]
e
[tex]\sum _{k=1}^{n} sen(ak+b)[/tex]

Con n naturale
a, b reali

[Pachisi]

Per la prima parte, basta notare che $cos(15°)=-cos((180+15)°)=-cos(195°) $. In modo simile, $cos(35°)=-cos(215°)$. Continuiamo fino ad arrivare a $cos(155°)=-cos(335°)$. Sommando, l'unico che rimane è $cos(175°)$.
Per la parte generale, basta ricordare che $cos(x)=Re{e^(ix)}=(e^(ix)+e^(-ix))/2$. Allora, \( \sum _{k=1}^{n} cos(ak+b) = Re(\sum _{k=1}^{n} e^{i(ak+b)} )=\sum _{k=1}^{n} \frac{e^{i(ak+b)}+e^{-i(ak+b)}}{2} \). Questo non riesco a semplificarlo molto, ma wolfram Alpha mi da $sin(an/2)/sin(n/2)cos(1/2(an+a+2b))$.

[Erasmus_First]

".Ruben.":Calcolare
$cos(15°)+cos(35°)+cos(55°)+...+cos(315°)+cos(335°)$
Generalizzare il procedimento e trovare una forma chiusa per il calcolo delle seguenti somme
[tex]\sum _{k=1}^{n} cos(ak+b)[/tex]
e
[tex]\sum _{k=1}^{n} sen(ak+b)[/tex]

Con n naturale
a, b reali

[ot]@Pachisi
A che livello scolastico sei?
Te lo chiedo perché mi sembra strano che sai passare dalle funzioni circolari seno e coseno alle loro espressioni (nel cmpo complesso) tramite la funzione esponenziale ma poi dici che non sai semplificare quella somma (per cui ti affidi a Wolfram Alpha).[/ot] Basta ricordare, in generale, come scrivere compattamente l'espressione $S = x + x^2 + x^3 +... + x^n$
Se è $x = 1$ allora $S = n$; altrimenti (cioè per $x ≠ 1$) ... adoperi il trucco di aggiungere e togliere $x^(n+1)$ ottenendo:
$S = x + x^2 + ... + x^n + x^(n+1) – x^(n+1)$ ⇔ $S = x + x[x + x^2 + ... x^n] - x^(n+1)$ ⇒
⇒ $S = x + xS - x^(n+1)$ ⇒ $S(1-x) = x(1-x^n)$ ⇒ $S= x(1-x^n)/(1-x)$.
Siccome
$cos(ka+b) = cos(ka)·cos(b) - sin(ka)·sin(b)$
e
$sin(ka+b) = sin(ka)·cos(b) + cos(ka)·sin(b)$,
per risolvere il quiz si calcolino le somme
$cos(a) + cos(2a) + ... + cos(na)$
e
$sin(a) + sin(2a) + ... + sin(na)$
sfruttando le uguaglianze precedenti (ovviamente un colpo per $x=e^(ja)$ ed un altro per $x = e^(-ja)$).
------
P.S. mer 01.06.2016 h19:09
NB. Ho editato per correggere nell'ultima riga del testo di sopra $e^(ix)$ con $e^(ja)$ e $e^(-ix)$ con $e^(-ja)$

________

[Pachisi]

@Erasmus_First
[ot]Sono in terzo (in un liceo di 4).
La somma geometria l'avevo trovata anche io, ma non riuscivo a semplificarla molto.[/ot]

[.Ruben.17]

Vanno bene entrambe
Riuscite a trovare e dimostrare una formula chiusa vera e propria?

[Io ho Moltiplicato per sin(a/2) poi Werner e somme telescopiche]

[giammaria2]

Io ha usato l'idea di Pachisi di passare agli esponenziali e quella di altri di servirsi delle prograssioni geometriche. Con la sostituzione $h=k-1$ parto da
$S=sum_(k=1)^n e^(i(ka+b))= e^(i(b+a))sum_(h=0)^(n-1)(e^(ia))^h=e^(i(b+a))(e^(i na)-1)/(e^(ia)-1)$

Osservo ora il denominatore:
[size=95]$e^(ia)-1=cosa-1+isina=-2sin^2 frac a 2+2isin frac a 2 cos frac a 2=2isin frac a 2(cos frac a 2+isin frac a 2)=2isin frac a 2 e^(i frac a 2)$[/size]

Lo stesso calcolo vale anche a numeratore, quindi ottengo
$S=e^(i(b+a))(2isin frac(an)2e^(i(an)/2))/(2isin frac a 2 e^(i frac a 2))=(sin frac(an)2)/(sin frac a 2)e^(i(b+a+an/2-a/2))=(sin frac(an)2)/(sin frac a 2)[cos(b+a(n+1)/2)+ i sin(b+a(n+1)/2)]$

Ne conseguono le due formule richieste:
$sum_(k=1)^n cos(ak+b)=Re (S)=(sin frac(an)2)/(sin frac a 2)cos(b+a(n+1)/2)$

$sum_(k=1)^n sin(ak+b)=Im (S)=(sin frac(an)2)/(sin frac a 2)sin(b+a(n+1)/2)$

[.Ruben.17]

E' buona

Io ho fatto in una maniera completamente diversa

$s_{n}=sum_(k=1)^n
sen(ak+b)$

Da una delle formule di Werner:
$sin(\alpha)sin(\beta)=1/2 [cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)]$

Adesso, moltiplicando ambo i membri per $2sen(a/2)$:
$2 sen(a/2) s_{n}= sum_(k=1)^n 2 sen(a/2) sen(ak+b) = sum_(k=1)^n cos(ak +b - a/2) - cos(ak+ b+ a/2)$

con $\alpha = ak+b$
Adesso creo una successione $a_{k}$ tale che:
$a_{k} = cos(ak +b - a/2)$

Per cui: $a_{k+1}=cos(ak +b+ a/2)$

Quindi:
$2 sen(a/2) s_{n}= sum_(k=1)^n a_{k} - a_{k+1}$
Questa è una somma telescopica, per cui:
$2 sen(a/2) s_{n}= a_{1} - a_{n+1} = cos(a + b - a/2) - cos(an + b +a/2)$
$s_{n}= (cos(a + b - a/2) - cos(an + b +a/2))/(2sen(a/2))=(cos(a/2 + b) - cos(an + b +a/2))/(2sen(a/2))$

Da notare che è equivalente alla formula di gianmaria e pachisi(sostituendo dei numeri funziona, magari si può dimostrare)
Quella con il coseno l'ho risolta in maniera molto simile(magari posto più tardi)

[dan952]

Erasmus
Oggi è il giorno degli off-topic
[ot]Ho notato una certa affinità tra il tuo modo di scrivere e il carattere del signore, ex prof. di matematica, che abita nel piano sottostante al mio, sei di Roma?[/ot]

[Erasmus_First]

Complimenti sia a ·Ruben· che a giammaria.
[A Pachisi li ho già fatti altre 2 volte .]
Il metodo di giammaria è il più breve (e sintetico) in assoluto.
Quello di ·Ruben· è forse più elegante sia perché resta nel campo dei numeri reali sia perché ricava la somma con una espressione "telescopia". Mi pare, però, che abbia l'inconveniente che occorre sapere già il risultato per poi provarlo.
Cioè: se non so già che deve saltarmi fuori al denominatore sin(a/2) è del tutto improbabile che mi venga in mente di moltiplicare entrambi i membri dell'equazione esplicita (nell'incognita $s_n$)
$s_n =$ k da 1 a n, di sin(ka + b) >
per il fattore sin(a/2).

________

[.Ruben.17]

In realtà non ce l'avevo la formula all'inizio
Ho dovuto risolvere quelle somme per via di questo problema:"Dato un poligono regolare a n lati con centro nell'origine del piano xy, dimostrare che la somma dei vettori che vanno da ogni vertice all'origine è nulla"
Risolvendolo algebricamente ho trovato due sommatorie come componenti del vettore somma:
$sum_(k=1)^n sen((2 \pi k )/n)$
$sum_(k=1)^n cos((2 \pi k )/n)$

Dopo una mole enorme di calcoli in cui tentavo di ridurla ad una somma geometrica(non mi è venuta in mente la formula di Eulero), ho provato a ridurla ad una telescopica.
Quindi dovevo trasformarla in una differenza della stessa funzione goniometrica, che avesse nell'argomento un addendo prima positivo poi negativo(è il modo più immediato per arrivare ad una telescopica)
Ho pensato quindi alle formule di Werner; l'unica di esse che trasforma in una differenza è quella che ho usato
Ho lasciato $\beta$ come parametro e poi ho imposto di essere opposto in $a_{k}$ e $a_{k+1}$
Dopo aver escluso molti "candidati" è rimasto $\beta = a/2$

Da lì in poi ho agito come postato prima


E' stata comunque una soluzione "partorita" dopo alcuni giorni di conti in cui tentavo di ridurla ad una somma geometrica

[giammaria2]

Il problema attuale è più ampio di quello iniziale: ora $n$ può essere tale da non considerare tutti e soli i vertici e $a$ può non essere un sottomultiplo dell'angolo giro.

Al problema iniziale si può anche dare una dimostrazione per assurdo: data la simmetria, ciò che vale per uno dei vettori da sommare deve valere anche per tutti gli altri. Se quindi la loro somma non fosse zero, essa formerebbe uno stesso angolo $alpha$ con tutti i vettori e questo è impossibile.
Se mi dite che una dimostrazione del genere è meno soddisfacente di una data con i calcoli, concordo con voi; è però decisamente più rapida.

[.Ruben.17]

Infatti anch'io ho usato la dimostrazione geometrica che è preferibile
Volevo risolverlo anche algebricamente per acquisire un po'di esperienza con le somme di funzioni trigonometriche