Somma razionale

[xXStephXx]

Siano $x_1, ..., x_k$ numeri interi positivi e $A$ un numero razionale fissato.
L'equazione $1/x_1+...+1/x_k = A$ può avere infinite soluzioni?

[Pachisi]

Se la lunghezza della somma non ha importanza (per esempio: non cerchiamo per le rappresentazioni di lunghezza $2$ di $2/3$, ma consideriamo anche quelle di lunghezza $3,4,...$) allora possiamo avere infinite soluzioni. Infatti basta applicare la formula $1/n=1/(n+1)+1/(n(n+1))$ ripetutamente. Se invece cerchiamo solo le rappresentazioni di una determinata lunghezza, allora ci dovrebbero essere solo un numero finite di soluzioni.

[xXStephXx]

Sisi $k$ fissato

[Pachisi]

Allora credo che ce ne dovrebbero essere solo un numero finito di soluzioni. Provo a dare una dimostrazione.

Consideriamo il caso con $k=2$. L'equazione diventa $1/x+1/y=A$. Poniamo $A=m/n$, con $m$ e $n$ interi positivi. Dividendo tutto per $m$, abbiamo $1/(mx)+1/(my)=1/n$ e, facendo i calcoli troviamo $(mx-n)(my-n)=n^2$. Ponendo $mx-n=t_1$ e $my-n=t_2$ (saranno entrambi interi), abbiamo $t_1t_2=n^2$ e $x=(t_1+n)/m$, $y=(t_2+n)/m$. Dunque, abbiamo solo un numero finito di soluzioni (che nascono dalla scomposizione in fattori primi di $n^2$).

Ora, consideriamo un $k$ qualsiasi. Notiamo che $ 1/x_2+...+1/x_k = a/b $, con $a$ e $b$ interi positivi. Allora, l'equazione diventa (ponendo $x_1=x$), $1/x+a/b=A$. Ponendo come prima $A=m/n$ con $m$ e $n$ interi positivi, abbiamo $1/x+a/b=m/n$. Dividendo tutto per $am$, troviamo $1/(amx)+1/(mb)=1/(am)$, che si risolve come fatto nel caso precendente, e dunque abbiamo un numero finito di soluzioni.

Spero di non aver fatto e/orrori (credo che mettero` questa frase nella firma... )

[xXStephXx]

Il caso $k=2$ dovrebbe andare Nel caso $k$ qualsiasi c'è qualcosa che non capisco. $a/b$ non è fissato no? Anche se ci fosse un numero finito di soluzioni per ogni $a/b$ poi, facendo variare $a/b$, come hai la certezza che non ne trovi infinite?

[Pachisi]

Allora forse e` meglio procedere per induzione sulla lunghezza?
Provo a farlo.

Assumo che per un intero positivo $l>2$ esistano solo un numero finito di soluzioni di lunghezza $l$. Ora provo a dimostrare che la stessa cosa vale per $l+1$. Tra tutti gli $1/x_i$ ce ne deve essere uno, diciamolo $1/y$, tale che $1/y>r/(l+1)$ (dove $r$ e` la nuova somma razionale), altrimenti, se fossero tutti minori di $r/(l+1)$, la somma sarebbe minore di $r$. Quindi, $y<(l+1)/r$. Dovendo essere $1/y1/r$ e, dunque, $0<1/r1/y>r/(l+1)>0$ e allora $r-1/y>0$. Essendo $y$ il termine maggiore, sara` $0

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[xXStephXx]

Ok questa mi quadra Sull'altra mi sa che avevo capito male, però non so se funzionava.

[Pachisi]

Almeno una
Sulla prima l'idea era questa: se $A$ e` fissato, allora ci saranno solo un numero finito di numeri razionali tali che la loro differenza con $A$ risulti in un numero razionale positivo con numeratore pari a uno. Ora si reduce a dimostrare che ognuno di quei numeri razionali ha un numero finito di rappresentazioni di lunghezza $k-1$. Credo che si potrebbe fare una sorta di induzione, no?

[Erasmus_First]

Credevo d'aver capito il quiz (cosa è chiesto e in quali ipotesi).
Ma poi non capisco il dialogo tra Pachisi e xXStephXx.

In particolare, che significa:
«Se la lunghezza della somma non ha importanza (per esempio: non cerchiamo per le rappresentazioni di lunghezza 2 di 2/3, ma consideriamo anche quelle di lunghezza 3,4,...) [...]» ?
Cos'è, qui, LUNGHEZZA? E cos'è, poi, "LUNGHEZZA della SOMMA"?
Cos'è qui la "rappresentazione di lunghezza 2 di 2/3"
E che significa "avere importanza" in questo caso?

Vediamo se è vero che, almeno, ho capito il quiz. Provo a riformilarlo con parole mie.
«Dati il numero razionale positivo $A$ e l'intero $k$ maggiore di $1$, dire se è finito o no il numero di $k$-ple di numeri interi positivi
$[a_1, ..., a_k]$ )*)
tali che
$1/a_1 + ... + 1/a_k = A$ ».
Caro xXStephXx: «E' almeno giusta questa lettura del quiz?»
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Non ho fatto nessuna dimostrazione.
Ma, a "naso", mi pare che non solo il numero di soluzioni – cioè di $k$-ple come in (*) – non possa essere infinito, ma anche che possa succedere che di soluzioni non ce n'è nemmeno una!
Sia per esempio $A = 3/5$ e sia $k = 2$.
Esistono due interi positivi – diciamoli $m$ ed $n$ – tali che sia
$1/m + 1/n = 3/5$ ?
________

[Pachisi]

@Erasmus_First: $m=2,n=10$ funziona.

[Erasmus_First]

"Pachisi":$m=2,n=10$ [...].

Bravo Pachisi!
E grazie. [Io non li vedevo! ]
Due domande, per sapere:
a) Nell'esempio k = 2 e A = 3/5 ci sono altre soluzioni oltre a questa?
b) Dati A razionale positivo arbitrario e k intero maggiore di 1 arbitrario, c 'è sempre almeno una soluzione?

Grazie in anticipo!
________

[xXStephXx]

"Erasmus_First":
a) Nell'esempio k = 2 e A = 3/5 ci sono altre soluzioni oltre a questa?
b) Dati A razionale positivo arbitrario e k intero maggiore di 1 arbitrario, c 'è sempre almeno una soluzione?

a) non mi risultano altre
b) direi di no, altrimenti ce ne sarebbero infinite

[Pachisi]

a) Se consideri $m=10,n=2$ diversa, allora c'e` quella.
b) C'e` sempre almeno una soluzione se $k$ non e` fissato.

@xXStephXx: Dici puo` funzionare l'idea che ho messo nel messaggio dopo la dimostrazione per induzione?

[xXStephXx]

su quella il dubbio che mi rimaneva è se si può concludere davvero in quel modo. Cioè $1/x + a/b = A$ con $A$ fissato, $x$ variabile, $a$ e $b$ variabili ammette davvero un numero finito di soluzioni?

[Pachisi]

Capisco...
Pero` un po` mi rimane il dubbio. Ci sono solo un numero finito di numeri razionali $a/b$ che funzionano e quindi un numero finito di $x$ che funzionano...
Non so, forse dovrei dimostrare che ognuna delle $a/b$ ha un numero finito di soluzioni, che e`, pero`, il problema iniziale.
Grazie per la pazienza.

[xXStephXx]

"Pachisi":Capisco...
Pero` un po` mi rimane il dubbio. Ci sono solo un numero finito di numeri razionali $a/b$ che funzionano e quindi un numero finito di $x$ che funzionano...

Questo dovrebbe bastare. Ma ad esempio come risolvi $1/(amx)+1/(mb)=1/(an)$ con $a,b,x$ incognite? Da quel che ho capito non si sa sin da prima se gli $a/b$ sono finiti no? Quindi vanno trattati come incognite giusto?

[Pachisi]

Ma tu sai che gli $a/b$ sono finiti: $A$ e` un razionale fissato, quindi ci sono solo un numero finito di razionali $a/b$ tali che $A-a/b$ risulti in un razionale con numeratore pari ad $1$.

[xXStephXx]

Allora mi ero perso qualcosa prima, come sai che gli $a/b$ sono finiti? Apparentemente $A-1/n$ può generare un $a/b$ valido per ogni $n$ no?

[Pachisi]

Giusto, hai ragione tu...
Mi ero perso io nel mio ragionamento
Grazie per la pazienza

[dan952]

Aggiungerei una condizione necessaria alquanto ovvia affinché un razionale $r=\frac{m}{n}$ possa essere scritto come somma di $k$ termini di quel tipo e cioè che $\frac{r}{k} \leq 1$. Se si dimostrasse che ogni razionale $r=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ per opportuni interi $x,y$ (equivale a dimostrare che $(mx-n)(my-n)=n^2$ ammette sempre soluzioni intere positive per ogni $m,n$ coprimi) allora per $k \geq 3$ l'equazione di Steph ha infinite soluzioni. Comunque non mi pare un problema banale.