Somma, problema

[NoRe1]

Salve!
Oggi mi sono ritrovato di fronte a questo problema:
Dimostrare che:
dati due numeri positivi a e b, la cui somma è un numero dato c, il loro prodotto è massimo quando i due numeri somo uguali.


Conosco già la soluzione che sfrutta il calcolo infinitesimale, ma mi chiedevo se esistesse un modo di dimostrare la proposizione sopra senza utilizzare derivate e simili.

In attesa di consigli, io ci provo

[giammaria2]

Esiste ed è anche facile; proprio per questo invito a tacere quelli che già la conoscono.

[NoRe1]

Vi rispondo con un altro problema perchè è dalla sua soluzione, per me molto simile, che ho preso spunto.
Qualche mese fa provai a risolverlo ma non ci riuscii. Oggi, ricordando la soluzione appresa nel caldo agosto, trovo spunti simili!

Eccolo ( SnS 1992 n.3 )

Verificare che la somma dellle quarte potenze di due numeri reali di assegnato prodotto p>0
-decresce se decresce il valore assoluto;
-raggiunge il valore minimo quando i due numeri sono uguali.
A voi!

Ritornando a noi.
Sappiamo che :
$x+ y=k$ per ogni coppia x;y
Prendiamo due coppie $x_1 ; y_1 $ e $x_2 ; y_2 $ per cui
$x_1 * y_1 >= x_2 * y_2 $


Moltiplichiamo primo e secondo membro della disequazione per 2 ottenendo una disequazione equivalente alla prima
$2x_1 * y_1 >= 2x_2 * y_2 $
Ricordando che $x+ y=k $ per ogni coppia x;y risulta :
$(x_1 + y_1)^2 = (x_2 + y_2)^2 =k^2 $
Possiamo allora sottrarre dall'ultima disequazionea 'destra' e a 'sinistra' $k^2$, per cui:
$-x_1^2 - y_1^2 >= -x_2^2 - y_2^2$
Ancora :
$+x_1^2 + y_1^2 <= +x_2^2 + y_2^2$
Ma per l'ipotesi fatta è ovvio che:
$-2x_1 * y_1 <= -2x_2 * y_2 $
Sommando membro a membro le ultime due disequazioni è ovvio che abbiamo ancora una disequazione equivalente:
$(x_1 - y_1)^2 <= (x_2 - y_2)^2$
per cui
$|x_1 -y_1| <= |x_2 - y_2|$

Dall'ultima relazione, che è equivalente alla prima, ricaviamo che il prodotto xy cresce al decrescere del valore assoluto della differenza tra i due numeri.
Ovviamente tale differenza è minima quando i due numeri sono uguali!

c.v.d.

Secondo me esiste ancora un'altra soluzione.
Sono ben accetti i suggerimenti!

[giammaria2]

La soluzione a cui pensavo io è molto, molto più semplice. Ne do solo le prime parole:" Ponendo $a=...$" e qui mi fermo, altrimenti è troppo facile.
Quanto al problema da te proposto, scrivi "decresce se decresce il valore assoluto": penso che tu intenda il valore assoluto della differenza fra i numeri. Se non è così, avvisa.

[NoRe1]

Sì, è da modificare:
'La differenZa è minima'
Va sostituito con
'Il valore assoluto della differenza'

[Andrea571]

Io proverei cosí:

Pongo $a=b$, ovvero $a=b=(c/2)$;
Il loro prodotto sará allora $(c/2)(c/2) = (c^2)/4$;
Proviamo ora con $a$ appena piú piccolo e con $b$ appena piú grande, ovvero $a_(-)$ e $b_(+)$, sempre tale che $a_(-) + b_(+)=c$: il loro prodotto sará allora $((c^2)/4)_(-)$ (ovvero il loro prodotto preso da sinistra, che é ovviamente piú piccolo di $(c^2)/4$);
Stessa cosa prendendo $b$ piú piccolo e $a$ piú grande: il prodotto sarà quindi massimo con $a=b$.

[giammaria2]

Bravo, Andrea57! In sostanza è la mia stessa soluzione, che però preferisco esprimere con altre parole.

Ponendo $a=c/2+x$ si ha $b=c-a=c/2-x$ e quindi
$ab=c^2/4-x^2$
Il primo addendo ha un valore fisso, quindi il risultato è massimo quando $x=0->a=b=c/2$

Rilancio con un altro problema, anche lui facile e classico e da svolgersi senza l'aiuto dell'analisi: dimostrare che se due numeri positivi hanno prodotto costante $p$, la loro somma è minima quando sono uguali.
Resta inoltre aperto il problema proposto da NoRe.

[NoRe1]

Ah! Avevo dimenticato di dirvi perchè mi ero posto questo problema.

Trovare, sfruttando la proprietà che abbiamo visto, il massimo della funzione $f(x)=(x-1)/x^2$ nell'intervallo (1;più infinito )

Ovviamente con un minimo di conoscenZe di analisi il problema si risolverebbe in maniera abbastanza semplice. Ma non vi chiedo questo

[NoRe1]

Nessuno ci prova?

[giammaria2]

Per chi voglia provarci, do un rapido riepilogo dei problemi qui affrontati; per tutti è richiesta una soluzione elementare, cioè senza l'uso dell'analisi.

1) Dimostrare che se due numeri positivi hanno somma data $c$, il loro prodotto è massimo quando sono uguali.
Per questo problema sono state date alcune soluzioni, in spoiler.

2) Dimostrare che se due numeri positivi hanno prodotto dato $p$, la loro somma è minima quando sono uguali.
Finora nessuna risposta.

3) Sfruttando il risultato di 1), trovare il massimo di $(x-1)/x^2$ nell'intervallo $x>1$.
Finora nessuna risposta.

4) Dimostrare che se due numeri positivi hanno prodotto dato $p$, la loro somma delle loro quarte potenze è minima quando sono uguali.
Mi sembra il più difficile e, per invogliarvi ad affrontare quelli facili, rispondo io.

Detti $x,y$ i due numeri, sappiamo che
$(x-y)^4=x^4-4x^3y+6x^2y^2-4xy^3+y^4$
e ne deduciamo
$x^4+y^4=(x-y)^4+4xy(x^2+y^2)-6x^2y^2=$
$=(x-y)^4+4xy[(x-y)^2+2xy]-6x^2y^2=$
$=(x-y)^4+4p(x-y)^2+2p^2$
L'ultimo addendo è costante e gli altri decrescono al decrescere di $|x-y|$: il minimo si avrà per $|x-y|=0->x=y$.

[milizia96]

Io direi che il più difficile è il quesito 3.
Infatti per il 4:

Se $x\cdoty=p$ è fissato, allora anche $x^4\cdoty^4=p^4$ è fissato. Quindi si conclude subito ricordando il risultato (2)

[giammaria2]

Bravo! Non ci avevo pensato.

[Rigel1]

Un piccolo hint per il 3:

Osservare che \(f(x) = \frac{1}{x}\left(1-\frac{1}{x}\right)\); si tratta ora di massimizzare un prodotto.

Per il 4 (posto che va più che bene la soluzione già proposta), si può procedere anche così:

Osservare che \(a^4+ b^4 = (a^4-2a^2b^2+b^4) + 2a^2 b^2 = (a^2 - b^2)^2 + 2p^2\), dunque il problema equivale a minimizzare \((a^2-b^2)^2\).