Soluzioni di $a^b=b^a$

[Livius1]

Non so se postarlo qua o in "Pensare un po' di più", ma ho scelto qui, data la elementarità della matematica ivi trattata.
Si chiede: trovare infiniti numeri razionali $a,b$ con $a \ne b$, tali che $a^b =b^a$.

[axpgn]

Mi pare che sia già stato trattato nel Forum ma mi è difficile recuperarlo ... comunque ...

Dato $a^b=b^a$, poniamo $k=b/a\ ->\ a^(ak)=(ak)^a\ ->\ a^k=ak\ -> \ a^(k-1)=k\ ->\ a=k^(1/(k-1))$

Affinché $a$ sia razionale, $q=1/(k-1)$ deve essere intero.

Infinite soluzioni razionali allora sono $a=(1+1/q)^q, b=(1+1/q)^(q+1)$ per $q$ intero

S.E.&O.

Cordialmente, Alex

[Livius1]

Non sapevo di ciò, comunque la soluzione è quella