SNS 2017 n.5

[.Ruben.17]

Una formica puntiforme si muove sul piano cartesiano, partendo dal punto A = (1, 0), e vuole raggiungere il punto B = (2, 0).
E' però vincolata a muoversi su una pedana della forma di un anello centrato in (0, 0) di raggi 1 e 2 e, relativamente ad essa, si può muovere con velocità unitaria in direzione qualsiasi.
La pedana ruota in senso antiorario con velocità uniforme in modo da compiere [tex]\omega[/tex] giri in un tempo unitario, con \(\displaystyle 0 \leq \omega \leq 1 \). Qual è il tempo minimo \(\displaystyle T(\omega) \), in funzione di \(\displaystyle \omega \), che serve per raggiungere B?
Nota: il cammino più breve sull'anello che congiunge due punti che si trovano sul bordo interno dell'anello è l'arco di cerchio di lunghezza minima che li congiunge.

[Erasmus_First]

".Ruben.":Una formica [...] E' però vincolata a muoversi su una pedana della forma di un anello centrato in (0, 0) di raggi 1 e 2

Non si capisce ... Pardon:[ b]io non ci capisco un tubo!

_______

[axpgn]

@Erasmus

È fatta così ...

La formica deve andare da $A$ a $B$, che sono punti fissi ma la pedana invece gira ...

[.Ruben.17]

"axpgn":@Erasmus

È fatta così ...

La formica deve andare da $A$ a $B$, che sono punti fissi ma la pedana invece gira ...

Esattamente

Nessuna idea sulla soluzione??

[dan952]

Non vorrei dire frescacce

$T(\omega)=\sqrt{frac{1-\sqrt{1-4\omega^2}}{2\omega^2}$

[.Ruben.17]

"dan95":Non vorrei dire frescacce

$T(\omega)=\sqrt{frac{1-\sqrt{1-4\omega^2}}{2\omega^2}$

Non so se è giusto...
Come ci sei arrivato?

E se ω é 0?

[axpgn]

Beh, tanto se è zero o uno, il tempo impiegato è il minimo assoluto

[dan952]

In ogni istante la formica deve cambiare la sua direzione restando sempre nel segmento che congiunge A e B in modo da compensare la velocità tangente $v=\omega r$

[orsoulx]

Probabilmente il quesito sarebbe già risolto da tempo se fosse stato postato nella stanza dei fisici: mal che vada una lapidaria sentenza di Vulplasir avrebbe 'illuminato' il percorso. Procederei nel seguente modo.

Calcolo il tempo minimo che occorre alla formica per raggiungere un punto qualsiasi del bordo esterno della corona circolare, pensata ferma.
Indicando con $ P(2cos \phi, 2 sin \phi) $ il punto in questione abbiamo due casi:
a) la formica 'vede' (immaginiamo che un cilindro, l'asse della giostra, le impedisca di guardare attraverso il cerchio mancante) il punto e può, allora, descrivere un percorso rettilineo di lunghezza $ l(\phi)=sqrt(5-4cos \phi) $, impiegando, vista la velocità unitaria, il medesimo tempo $ t(\phi)=l(\phi)$. Questo è possibile quando $ (0<=\phi<=\pi/3) vv (5/3 \pi<=\phi<=2 \pi) $.
b) la formica non vede il punto e deve allora percorrere un arco della circonferenza interna del rondellone, fino a quando dal suo orizzonte sorge l'obiettivo, che può essere raggiunto con un ulteriore percorso rettilineo di lunghezza $ sqrt 3 $, sarà:
$ t(\phi)= \phi-\pi/3+sqrt(3) $ se $ \pi/3< \phi <= \pi $ (la formica si muove, rispetto alla piattaforma con verso antiorario)
$ t(\phi)= -\phi+5/3\pi+sqrt(3) $ se $ \pi< \phi <5/3 \pi $ (movimento in verso orario).
Questo tempo minimo sarò anche la soluzione del quesito, quando, nel frattempo, la rotazione della piattaforma porterà il punto obiettivo a coincidere con $ B $, cioè quando $ \phi=2 \pi (1-\omega)t $.
I calcoli, che mi paiono semplici nei casi (b), ma non nei casi (a), ve li fate voi.
La formica dovrà muoversi (rispetto alla piattaforma) in verso orario per frequenze non maggiori di $ 1-3/(4 \pi + 6 sqrt(3))=0.869...$. Sarà $ 1<= t_m<=2/3 \pi+sqrt(3)=3.826... $. Salvo errori.

Ciao

[.Ruben.17]

La soluzione mi sembra buona, complimenti!
È strano che alla Normale una cosa del genere sia stata somministrata per Matematica

[dan952]

Ho toppato... Al di là del conto sbagliato, mi sa che anche il ragionamento non va

[orsoulx]

".Ruben.":La soluzione mi sembra buona, complimenti!

"dan95":Ho toppato...

Ringrazio per la fiducia!! Ma mi son messo a fare i conti e mi son convinto di aver postato una soluzione forse (ma forse no) corretta a basse velocità di rotazione, ma stupida quando queste crescono: che senso ha costringere la formica a girare in verso antiorario??
A parità di tempo potrebbe girare in verso orario e scendere al volo quando il punto raggiunto transita per B!
Ci devo meditare. Scusate.
Ciao
Edit: Farneticazioni da neuroni in libertà. Un errore c'era (vedi post successivo), ma qui ho rincarato la dose definendo 'stupido' un movimento della formica che ha, invece tutte le ragioni d'essere. Conclusioni: sono più stupido di una formica.

[.Ruben.17]

Ma il percorso rettilineo che fa la formica non è diretto comunque in senso orario?

[axpgn]

No, anzi in generale è meglio in senso antiorario ...

Poniamo che la velocità di rotazione sia vicino al massimo, per esempio $359°$ per unità di tempo (mettiamo un minuto), quindi dopo un minuto manca ancora un grado per arrivare in $B$.
La formica potrebbe attraversare l'anello, secondo il raggio, in un minuto e poi camminare sul bordo, insieme all'anello e quindi con velocità sommate, in un tempo totale di $1.00258$ minuti.
Se invertisse l'ordine delle operazioni ci metterebbe meno perché la velocità tangenziale interna è sì la metà ma lo è anche il percorso sul bordo da fare mentre la velocità della formica rimane costante: tempo totale $1.002402$ minuti.
Presumo comunque che ci si possa mettere ancor meno "tagliando" questo percorso (arco+retta) ma non saprei dire esattamente in che modo (anche perché con la velocita tangenziale che varia ...)
Se la formica utilizzasse questo metodo il massimo tempo di attraversamento si avrebbe quando $omega$ è prossima allo zero; in tal caso però si può fare il ragionamento al contrario ovvero la formica percorre il bordo interno in senso orario controcorrente e poi attraversa (al punto giusto): per esempio se la velocità angolare fosse di un grado al minuto il tempo totale sarebbe $1,123$ minuti.
Questo però è possibile farlo solo in pochi casi perché già dopo i dieci gradi la velocità tangenziale interna è maggiore di quella contraria della formica ma ancor prima il tempo impiegato girando in senso orario diviene maggiore di quello in senso antiorario.
IMHO

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

".Ruben.":Ma il percorso rettilineo che fa la formica non è diretto comunque in senso orario?

Ho scovato il mio errore: inversione del verso di rotazione della piattaforma, comunque i risultati numerici sono corretti tranne per la velocità angolare che corrisponde al più elevato tempo di attraversamento: è semplicemente $ \omega(t_max)=3/ (4 \pi+6sqrt(3))=0.13....$.
Come dice Alex (almeno su questo concordiamo) il movimento della formica deve opporsi a quello della piattaforma solo per basse velocità angolari di questa, superata la velocità angolare che corrisponde al massimo del tempo impiegato, deve essere concorde.
Mi pare carino notare che per questa situazione limite la velocità della formica coincide con quella tangenziale del bordo interno ed i percorsi possibili sono allora due: uno concorde dove la formica si muove, rispetto al suolo con una velocità doppia della sua e uno discorde dove la formica sta ferma rispetto al suolo fino a quando non vede spuntare il suo bersaglio.

@Alex
fatico a seguire il tuo ragionamento. In particolare, a mio avviso non esistono minimi che comportino di 'tagliare'. Cosa poi? Visto che rispetto alla piattaforma deve andare dritto, una volta che ha avvistato l'obiettivo. A me l'angolo di inversione risulta $ 0.13..*360°~ 47° $.
Ciao

[curie88]

"orsoulx":

Calcolo il tempo minimo che occorre alla formica per raggiungere un punto qualsiasi del bordo esterno della corona circolare, pensata ferma.

Ciao, secondo me, bisogna interpretare bene il quesito, infatti il punto $B$ come ha fatto notare @axpgn, è fisso, e non è un punto qualsiasi della circonferenza.
Inoltre poiché viene detto che il percorso minimo è un arco di cerchio, significa, che la formica si sposta dal punto $A$ al punto $B$ verso destra, ed in relazione a questo movimento deve impiegare il tempo minimo.
Io ho considerato un' altra soluzione(che non interpreta però bene il problema), ovvero che la formica va dal punto $A$ al punto $B$ sapendo in ogni istante dove sta il punto $B$; qui i calcoli non sono semplici ma ottengo, che essa raggiunge $B$, dopo che la giostra è ruotata di circa $115°$. Tenterò di rifare i calcoli considerando l' interpretazione che mi pare giusta.
Ciao.

[orsoulx]

Grafico della funzione $ t(\omega)$ (GeoGebra)

Ciao

[axpgn]

@orsoulx
Provo a spiegarmi meglio (se riesco ... ... peraltro penso che non siamo molto distanti: ho rifatto i conti per quanto riguarda il moto a basse velocità perché mi sono accorto che avevo preso per errore un valore piuttosto che un altro e adesso la velocità di inversione mi viene tra i $43°$ e i $44°$ che mi pare siano compatibili con i tuoi).

Il ragionamento che ho fatto arriva alla conclusione che la formica deve prima compiere un arco sul bordo interno (da $A$ ad $A'$) e poi attraversare lungo la direzione del raggio e quando arriva sul bordo esterno (nel punto $B'$) è di fatto in $B$ e scende; a seconda della velocità angolare l'arco deve essere percorso concordemente o meno col verso di rotazione.

Ora, però, io non mi sento di affermare che sia sempre quello di minor durata ovvero io non sono in grado di dimostrarlo cioè il mio dubbio è: se la formica va direttamente da $A$ a quel $B'$ (quando lo può vedere, altrimenti un po' d'arco lo deve fare) determinato di volta in volta in funzione di $omega$ quanto ci mette rispetto al percorso arco+retta $A->A'->B'$?
In questo senso intendevo con "tagliare" cioè non attraversare lungo al direzione del raggio ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

A me viene cosi ...



Sono molto simili ma la mia ritengo sia più approssimata per quanto detto prima (perché non taglio ... il massimo/punto d'inversione comunque mi sembra allo stesso posto, intorno al $12%$ ...)

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:

Se la soluzione che ho postato è corretta (questo è opinabile) la formica 'attraversa nella direzione del raggio' solo nei casi estremi $ \omega=0 vv \omega=1 $ in tutti gli altri procede dritto nella direzione che congiunge il punto della circonferenza interna da cui si stacca al punto di quella esterna che coinciderà con $ B $ alla fine dell'attraversamento. Naturalmente nei casi in cui non 'vede' direttamente il punto di arrivo si muove sulla circonferenza interna fino a quando non lo scorge.

Ciao
Edit: ho visto il tuo grafico dopo aver postato: il tuo grafico, però prevede un massimo $t>4$.
Riciao

[axpgn]

@orsoulx

"orsoulx":... ho visto il tuo grafico dopo aver postato: il tuo grafico, però prevede un massimo $t>4$. ...

Appunto, perché la mia è una soluzione "semplicistica" non quella "ottimale" come la tua (che poi coincide con quella in cui utilizzo la parola "tagliare) ... il problema (mio) è che ho "intuito" che quella tua è la soluzione ma non riesco a esserne certo (o meglio a "sentirmi" certo): quando ci sono cose che girano ...
Comunque, per non essere una formica, non è che perda poi tanto tempo ...

Cordialmente, Alex