Sequenza Intera

[Pachisi]

Dimostrare che la sequenza definita da $y_0=1, y_(n+1)=1/2(3y_n+sqrt(5y_n^2-4)), n \ge 0$, è composta solo da interi.

[orsoulx]

Sono i numeri di Fibonacci di indice dispari. Si può dimostrarlo in diversi modi, ad esempio ricordando che $ (F_{2n})^2-F_[2n-1} \cdot F_{2n+1}=-1 $.

Ciao
B.

[Pachisi]

Ok
Si fa anche senza scomodare Fibonacci.

[orsoulx]

"Pachisi":Si fa anche senza scomodare Fibonacci.

Naturalmente. Ma lui mica si lamenta: la sua successione è come il prezzemolo!
Ciao
B.

[Sk_Anonymous]

Si prova che da
$(1) $ $y_(n+1)=1/2(3y_n+sqrt(5y_n^2-4))$

segue che

$(2) $ $y_(n-1)=1/2(3y_n-sqrt(5y_n^2-4))$

(i dettagli se servono, in orari meno estremi).

Da $y_n \in NN$ e sommando $(1)+(2)$ si ha che $y_(n+1)+y_(n-1)=3y_n \in NN$.

Da questo e dal fatto che $y_1=1$ e $y_2=2$ segue che $y_n in NN \forall n$

[Sk_Anonymous]

Prova che da
$(1) $ $y_(n+1)=1/2(3y_n+sqrt(5y_n^2-4))$

segue

$(2) $ $y_(n-1)=1/2(3y_n-sqrt(5y_n^2-4))$


Dalla (1) si ricava che $y_(n+1) \gt y_n$ , cioé la successione è crescente.

Riscrivendola nella forma

$2y_(n+1)-3y_n=sqrt(5y_n^2-4)$

ed elevando al quadrato, si ottiene

$y_(n+1)^2-3y_(n+1)y_n+y_n^2+1=0$

che "risolta" per y_n dà due soluzioni di cui una sola consistente con il fatto che la successione sia crescente.
Questa formula, cambiando opportunamente gli indici, è proprio la relazione (2)

[Pachisi]

Ok