Semifinali giochi matematici 2018

[serena.canzonetta]

Il 17 marzo si sono tenute le semifinali dei giochi matematici organizzate dalla Bocconi.
Mi chiedevo se qualcuno di voi sapeva illustrarmi il procedimento per risolvere alcuni degli esercizi proposti (riporto sotto i testi e le relative soluzioni):


13. Un calcolo impossibile
Non si sa perché, ma in ogni modo Amerigo si è lanciato in un calcolo incredibile:
$ (2xx 4) - (6xx 8) + (10xx 12) - ... + (2018xx 2020) $
nel quale figurano tutti i numeri pari da 2 a 2020 e in cui i vari prodotti consecutivi sono alternativamente aggiunti e sottratti. Nonostante la difficoltà del calcolo, Amerigo ha ottenuto alla fine il risultato corretto.
Qual è questo risultato?


14. Il codice di nonno Nando
L'accesso alla cassaforte di nonno Nando è protetto da un codice numerico che però nonno Nando ha sfortunatamente dimenticato. Ricorda solo che il codice è un numero naturale N di otto cifre, che non comincia con uno 0 e termina, in quest'ordine, da sinistra verso destra, con le cifre 2, 0, 1, 8. Se si cancellano queste ultime quattro cifre, si ottiene un numero naturale che è un divisore di N.
Qual è il codice della cassaforte di nonno Nando?


15. I sette dadi
Qual è la probabilità che, lanciando simultaneamente 7 classici dadi (con le sei facce numerate da 1 a 6), sulle loro facce superiori compaiano tutti i sei valori possibili (uno di loro sarà evidentemente ripetuto)? Date la risposta sotto forma di una frazione irriducibile.


16. Quattro triangoli per un quadrato

Dividete un quadrato in quattro triangoli come in figura (che però non rispetta necessariamente le proporzioni tra i loro lati). La misura del lato del quadrato è espressa da un numero intero di cm. I quattro triangoli sono, a due a due, diversi ma tutte le lunghezze dei loro lati sono espresse da numeri interi di cm.
Qual è, al minimo, l'area del quadrato (espressa in cm2)?


17. Una sorella dispettosa
Marta ama i grandi numeri e le loro moltiplicazioni. Ha così moltiplicato 173 per un numero di nove cifre, ottenendo un risultato di undici cifre. Sua sorella Linda è una ragazza dispettosa e, per nulla commossa dallo sforzo di Marta, ha cancellato undici cifre dal calcolo di sua sorella. Adesso si legge:

[size=150]173 x _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ 2017 _ 20183[/size].

Per quale numero Marta aveva moltiplicato 173?

SOLUZIONI
13.(Amerigo ha ottenuto 2 042 216)
14.(due soluzioni possibili: 10092018 e 20182018)
15.(La probabilità è 35/648)
16.(L'area del quadrato è 576 cm2)
17.(Marta aveva moltiplicato 173 per 185072371)

[axpgn]

Metti le soluzioni sotto spoiler ...

[serena.canzonetta]

"axpgn":Metti le soluzioni sotto spoiler ...

Scusa
Ho corretto

[axpgn]

Esiste un comando apposito per lo spoiler: tu scrivi quello che vuoi mettere sotto spoiler, lo selezioni e premi il pulsante "spoiler" che trovi tra i comandi situati appena sopra il form di risposta. Fatto.

Adesso provo a rispondere al primo ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

13)

$a_n=4n*(4n-2)$
$b_m=(a_(2m-1)+a_(2m-2))=32(2m-1)-24=64m-56$
$sum_(i=1)^253 64i-56=(253*254)/2*64-253*56=2.042.216$

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Il 14) é banale, a parer mio, ...

$20182018$

[dan952]

1)

Se chiamiamo $S$ la somma, dividendo per 4 e raggruppando i termini a coppie
$(1+4k)(2+4k)-(3+4k)(4+4k)=-16k-10$
Con $k=0, \cdots, 251$. Sommo su $k$ con Gauss e ottengo
$S/4=-16 \cdot \frac{251\cdot 252}{2}-10 \cdot 251+1009 \cdot 1010=510564$
Da cui S=2042256.

2)
Sia $d$ un tale divisore di N
$d \cdot 10^4+2018=N$

Quindi $d$ divide anche $N$ e siccome gli unici due divisori con 4 cifre di 2018 sono 1009 e 2018 si ha

N=20182018 oppure 10092018

[axpgn]

15)

Due dadi qualsiasi hanno lo stesso numero, questo può avvenire in $((7),(2))$ modi.
Questo accade per ognuno dei sei numeri.
Gli altri cinque dadi riportano cinque numeri diversi; questo può avvenire in $5!$ modi diversi.
La probabilità sarà quindi $(21*6*120)/6^7=35/648$

[axpgn]

16)

$24-7-25$
$24-7-25$
$24-10-26$

$24=7+7+10$

[serena.canzonetta]

"axpgn":16)

$24-7-25$
$24-7-25$
$24-10-26$

$24=7+7+10$

Grazie mille!
Puoi spiegarmi il ragionamento fatto per arrivare alla soluzione?

[superpippone]

16) I 4 triangoli devono essere tutti diversi uno dall'altro.
Anche se l'area del quadrato rimane quella....

1)10-24-26
2) 14-25-25
3) 7-24-25
4) 17-25-26

Alex: sono riuscito a sbagliare (oltre ad altri, ovvio..) il 15): da piangere.....
E se lo viene a sapere Tommik.....

[axpgn]

Impossibile , se ci sono arrivato io ...
[ot]Hai partecipato alla gara? Com'è andata?[/ot]

@sere
Penso ci sia un procedimento molto migliore del mio ... Difatti io non ho cercato i lati dei quattro triangoli (come credo abbia fatto superpippone e sarei curioso di sapere come ha fatto ... )
Se tracci le altezze dei due triangoli centrali (quelle verticali per intenderci) ottieni tre coppie di triangoli rettangoli pitagorici, i quali hanno un cateto in comune (il lato del quadrato) mentre la somma degli altri tre cateti deve essere pari al lato.
Qui comincia il duro lavoro (si fa per dire ) ... ho esaminato le terne pitagoriche aventi il cateto maggiore da $9$ in su (il cateto minimo vale $3$, preso tre volte fa $9$) ... È un procedimento meno lungo di quel che sembra, tenendo presente le formule per la costruzione delle terne pitagoriche, si scartano abbastanza velocemente i valori non validi ...

Cordialmente, Alex

[spugna2]

17)

Dette $a $ e $b $ le cifre mancanti al secondo membro, quest'ultimo si scrive come $10^10a+10^5b+2017020183$, e dobbiamo imporre che sia divisibile per $173$. Dovremmo quindi sostituire i tre coefficienti con i loro resti modulo $173$, ma ci sono anche strategie con meno conti, ad esempio aggiungere un opportuno multiplo di $173$ e dividere per $10$ finché possibile (esempio: al primo passo sottraggo $173$ e divido per $10$, ottenendo $10^9a+10^4b+201702001$; poi aggiungo $519$, divido per $10$ e ottengo $10^8a+10^3b+20170252$, e così via). Dopo cinque passi si arriva a $10^5a+b+20218$, che modulo $173$ diventa $6a+b-23$: poiché $a $ e $b $ sono cifre, si può ottenere un numero compreso tra $-23$ e $40$, che dovendo essere multiplo di $173$ è necessariamente $0$, perciò si deve avere $6a+b=23$, che ha come unica soluzione $a=3$ e $b=5$. Ora resta da calcolare $(32017520183)/(173)=185072371$.

[superpippone]

Volevo puntualizzare alcune cosette.

1) Il tempo a disposizione era di 2 ore.
2) I quesiti da risolvere erano 13.
3) Ovviamente non era consentito consultare testi, prontuari, et similari.
4) Non era consentito l'uso della calcolatrice. Tutti i calcoli erano da fare rigorosamente a mano.

E maneggiare manualmente quel numeraccio di 11 cifre non era certo agevole.
E anche qualcuno degli altri era un pelino ostico.....

[superpippone]

Alex: per quello dei dadi ho trovato (dopo, ovvio) 3 metodi per calcolarlo.
Tutti e 3 portano al risultato corretto. Ma per uno ci vuole un piccolo accorgimento.
Ecco, io ho utilizzato quello. Ma senza accorgimento.

Per cui ho scritto $35/324$

Per quello del quadrato diviso in 4 triangoli, ho travisato.
Ma casualmente il risultato era giusto lo stesso....
Avevo capito che c'erano due coppie di triangoli uguali.
Avevo proceduto a tentativi.
Finchè ho imbroccato quello giusto....

[axpgn]

"superpippone":... Ma casualmente il risultato era giusto lo stesso ...

[Civello1]

IL 14 è un po' più complesso:

il numero cercato è del tipo
abcd2018 che possiamo scrivere come A2018 con 999
Sappiamo che A2018 = k(A)

A2018 si può scrivere come 10000A + 2018

Da cui

10000A+2018=kA

A(k-10000)=2018

Sappiamo che dobbiamo trovare soluzioni intere all'equazione predente.

2018 = 2*1009

da cui

A(k-10000)=2*1009

Quindi le possibilità sono:

A = 2 e (k-10000)=1009 non rispetta il vincolo che A sia > 999
A=1 e (k-10000) = 2018 non rispetta il vincolo che A sia > 999
A = 1009 e (k-10000) = 2 da cui il numero finale è 10092018
A=2018 e (k-10000) = 1 da cui il numero 20182018

Le due soluzioni sono quindi:
10092018 e 20182018

[axpgn]

Sarà anche come dici tu ma ...

Si vede in un secondo che $20182018$ è soluzione del problema.
Poi dovendo essere $\x\x\x\x2018\ :\ k\ =\ \x\x\x\x$, si nota immediatamente che deve essere $10000*\x\x\x\x+m*\x\x\x\x$ e l'unico divisore proprio intero con quattro cifre di $2018$ è $1009$

Cordialmente, Alex

[veciorik]

17)

Esaminando una cifra alla volta, da destra a sinistra, calcolo [size=130] p2017q20183 / 173 [/size]
sfruttando il fatto che 173 termina con 3 e che i multipli di 3 terminano con cifre diverse

Dopo cinque passi so che il quoziente termina con [size=130] 72371 [/size] e resta da risolvere [size=130] p2005z / 173 [/size]
dove [size=130] z = q - 5 [/size] con eventuale riporto

Allo stesso modo [size=130] p2005 / 173 = 185 [/size] se e solo se [size=130] p = 3 [/size]

Quindi [size=130] z = 0 [/size] ossia [size=130] q = 5 [/size]

In sintesi [size=130] [hl]3[/hl]2017[hl]5[/hl]20183 / 173 = 185072371 [/size]

[serena.canzonetta]

"veciorik":17)

Esaminando una cifra alla volta, da destra a sinistra, calcolo [size=130] p2017q20183 / 173 [/size]
sfruttando il fatto che 173 termina con 3 e che i multipli di 3 terminano con cifre diverse

Dopo cinque passi so che il quoziente termina con [size=130] 72371 [/size] e resta da risolvere [size=130] p2005z / 173 [/size]
dove [size=130] z = q - 5 [/size] con eventuale riporto

Allo stesso modo [size=130] p2005 / 173 = 185 [/size] se e solo se [size=130] p = 3 [/size]

Quindi [size=130] z = 0 [/size] ossia [size=130] q = 5 [/size]

In sintesi [size=130] [hl]3[/hl]2017[hl]5[/hl]20183 / 173 = 185072371 [/size]

La prima metà ero riuscita a risolverla, poi sono andata in panico perché non mi veniva una possibile relazione che riuscisse a collegare le cifre che tu hai chiamato p, z e q.
Quindi ho perso tempo dietro a ragionamenti "alternativi" senza trovare però la soluzione.

Comunque grazie mille! La spiegazione è stata chiarissima!

[veciorik]

L'autore del quiz 17 ha facilitato la soluzione mettendo uno zero nel quoziente, al posto giusto.
Altrimenti si complicava la soluzione, come ad esempio in $$ \_ 2034 \_ 20183 \ / \ 173$$