Se $p(x)$ assume solo valori primi allora $p(x)$ è costante

[dan952]

Se $p(x)$ è un polinomio a coefficienti interi tale che assume valore un numero primo per ogni intero, allora $p(x)$ è costante.

[hydro1]

Basta anche molto meno... per esempio se esistono $N,k\in \mathbb Z$ tali che $p(N+kr)$ è primo per ogni $r\in \mathbb N$, allora $p$ è costante.

[dan952]

In spoiler perché potrebbe essere un hint per la soluzione

[hydro1]

Allora posterò un'altra soluzione, a cannonate perchè è più divertente.

Chiaramente $f$ dev'essere irriducibile, e se ha grado $1$ il claim è ovvio, quindi sia $m\ge 2$ il grado. Se $f$ rappresenta solo primi, allora gli interi della forma $f(n)$, che sono tutti primi, sono anche gli unici primi $p$ tali che $f$ abbia almeno una radice modulo $p$. D'altro canto sono ben pochi perchè $f(n)$ va come $n^m$, quindi il numero di primi $\le X$ rappresentati da $f$ è dell'ordine di \(c\log X\) per qualche costante $c$. Ma allora i primi tali che $f$ abbia una radice modulo $p$ hanno densità $0$ perchè i primi $\le X$ sono dell'ordine di \(X/\log X\), e questo viola il teorema di densità di Chebotarev.

[dan952]

Bella e istruttiva!