Scacchiera (SNS Pisa)

[borgianni1]

Propongo questo problema carino di cui ancora non conosco la soluzione esatta...

Sia data una scacchiera rettangolare di 125 x 35 caselle alternativamente bianche e nere nel modo usuale (essendo le caselle angolari nere).
Quante sono le caselle attraversate in punti interni da una diagonale della scacchiera?
Quante di ciascuno dei due differenti colori?

Graziee

[axpgn]

$155$ di cui $80$ nere

[borgianni1]

Grazie! Mi puoi illustrare la soluzione?

[axpgn]

Per semplificare ho "ridotto" lo schema ad un rettangolo $25\ xx\ 7$; si può notare che la diagonale attraversa nello stesso modo i cinque "rettangolini" uguali, disposizione delle caselle compresa, perciò alla fine basta moltiplicare per cinque.

La diagonale taglia tutte le $25$ colonne quindi $25$ caselle; se tagliasse tutte le caselle nei vertici non dovremmo aggiungere altro, altrimenti ogni volta che passa da una riga ad un'altra c'è una casella in più da contare: siccome $25$ e $7$ sono coprimi tutte le sei righe "divisorie" sono tagliate internamente quindi le caselle da aggiungere sono sei per un totale di $31$ che moltiplicato per $5$ fa $155$.

Cordialmente, Alex