Sarebbe ora di smetterla con questi luoghi ...

[massimoaa]

In un piano $\alpha$ sono assegnati il segmento fisso AB di lunghezza assegnata 2a ed il punto variabile C.
Si determini il luogo descritto da C quando si muove nel piano $\alpha$ in modo che l'angolo $hat{CAB}$ risulti
doppio dell'angolo $hat{CBA}$.
Dal punto di vista algebrico la risoluzione è abbastanza agevole. Proprio per questo sarebbe interessante leggerne una puramente sintetica (o geometrica se si preferisce dire così).

[orsoulx]

"massimoaa":...sarebbe interessante...

Sarebbe forse più interessante se tu intervenissi nelle discussioni che proponi, non dico in modo cortese, che la cortesia non sai cosa sia, ma almeno in modo educato ed attinente, mostrando di averci capito qualcosa.
Ciao
PS

Indicando con V il punto che divide il segmento AB in parti una il doppio dell'altra (VB=2VA); il luogo è il ramo, passante per V, dell'iperbole di fuoco A e vertici V e B.

[Erasmus_First]

Con la geometria analitica ...
Cambio simbolo: al posto di $a$ metto $u$ (riservando $a$ per altro significato).
Metto A in (0, 0), B in (2u, 0) e C in (x, y). L'altezza del triangolo ABC è |y|.
Allora, detto φ l'angolo in B (e quindi 2φ l'angolo in A) deve essere
(*) $|y| =sqrt(x^2+y^2)·sin(2φ) = sqrt[(2u-x)^2+y^2]·sin(φ)$. [Memento; sin(2φ) = 2sin(φ)·cos(φ)].
Inoltre (con Carnot): $\bar{AB}^2+ \bar{BC}^2 -2\bar{AB}·\bar{BC}cos(φ) = \bar{CA}^2$, ossia:
(**) $(2u)^2 + [(2u-x)^2 + y^2] - 2(2u)sqrt[(2u-x)^2+y^2]·cos(φ) =x^2 + y^2$.
Ricavando cos(φ) sia da (*) che da (**) e confrontando si trova:
$cos(φ) = ((2u)^2 +[(2u-x)^2 + y^2] -(x^2 + y^2))/(2(2u)sqrt((2u-x)^2+y^2)) = 1/2·sqrt((2u-x)^2+y^2)/sqrt(x^2+y^2)$;
e quindi (smanettando un po' per evidnziare il tipo di equazione e ponendo $a=2/3u$ e $b=(2sqrt3)/3u)$:
$(x-2a)^2/a^2-y^2/b^2=1$.
Questa è evidentemente l'equazione dell'iperbole di centro $(2a, 0) = (4/3u, 0)$, asintoti inclinati di $±60°$ sull'asse delle ascisse. e fuochi uno in $(0, 0)$ e l'altro in $(4a, 0) = (8/3u , 0) $.
[Distanza tra i vertici $2a=2·2/3u$. Distanza tra i fuochi: $2c = 2·2a=2·4/3u$]
Di questa iperbole bisogna considerare il solo ramo di sinistra.
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P.S. (Editando ... anche iù volte per correggere errori di "stumpa")
Aggiungo il grafico cartesiano dell'iperbole. (Occhio: il luogo è solo il ramo di sinistra).

––> Figura (fatta con l'applicazione "Grapher" per Apple)

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[Erasmus_First]

"orsoulx":[...] V il punto che divide il segmento $\bar{AB}$ in parti una il doppio dell'altra [...]

Eh, eh: V come "Vertice".
Ma mi piace ...l'individuazione di questo punto ancor prima di sapere com'è fatto il "luogo"!
Al tendere a zero dell'altezza di ABC relativa ad AB, il punto C tende a cascare su AB in un punto ... che chiamiamo V. Entrambi gli angoli di vertici A e B tendono a zero. Ma se quello in A è doppio di quello in B, la distanza di V da A deve essere metà ella distanza di V da B.
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[giammaria2]

Dopo settimane di problemi al computer, riapro questo post perché era stata chiesta una soluzione sintetica e finora nessuno l'ha scritta La soluzione è un'iperbole, quindi è ovvio che occorre presupporre la conoscenza di questa curva e delle sue proprietà.

Riservo la lettera $a$ al semiasse principale; chiamo $2u$ la lunghezza di $AB$.
Sia $r$ l'asse di $AB$, sia $D$ il simmetrico di $C$ rispetto ad $r$ e sia $H$ l'intersezione di $CD$ ed $r$.
Si dimostra facilmente che $CD$ è parallelo ad $AB$ e che $D$ sta sulla bisettrice di $C hatA B$ e ne consegue
$C hatDA=D hatAB=C hat AB$
Il triangolo $ACD$ ha due angoli uguali, quindi è isoscele:
$CA=CD=2CH =>(CA)/(CH)=2$
Poiché il punto $A$ e la retta $r$ sono fissi al variare di $C$, 'ultima formula dice che il luogo dei punti $C$ è una conica con eccentricità 2 (quindi un'iperbole), avente un fuoco in $A$ e la corrispondente direttrice in $r$.

Il problema può considerarsi concluso; se si vuole anche l'equazione dell'iperbole riferita agli assi usati da altri, si può continuare dicendo che il centro sta sul semiasse $x$ positivo (perché nell'iperbole la direttrice sta fra fuoco e centro), a distanza $f$ dal fuoco $A$: l'equazione è quindi del tipo
$(x-f)^2/a^2-y^2/b^2=1$
I parametri possono essere calcolati imponendo che l'eccentricità sia 2 e che la distanza fra fuoco e direttrice sia $u$; si ottiene $a=(2u)/3;f=(4u)/3;b=(2u)/sqrt3$

[MaxVag]

Poiché massimoaa desidera il luogo descritto dal punto C essendo nel triangolo ABC gli angoli interni CAB=2u, CBA=u=(180°-u) e avendo il lato BA=2a.
Possiamo cercare il punto C, come punto intersezione delle rette:
AC y=x tan(2u)
BC y=(x-2a)tan(180-u)
che dovranno avere C come punto comune:
y=y; x tan(2u)=2atan(u)-x tan(u)
x=2a tan(u)/(tan(2u)+ tan(u)) allora
y=[2a tan(u)/(tan(2u)+ tan(u))]tan(2u)

Vedi Applet su:
https://www.geogebra.org/m/zRwu2JFr

[MaxVag]

massimoaa: su Geogebra.org ti ho dato la paternità della voce. Come è giusto!

massimoaa, orsoulx, Erasmus, giammaria e chiunque

vi aspetto per un commento alla mia voce "Traiettoria di due punti nel piano"