Rombo...di tuono !

[Sk_Anonymous]

Si consideri il rombo ABCD ( con AC triangolo ABC, e la circonferenza di centro E, circoscritta al triangolo BAD.
Sapendo che $OB=r, EA=2r$, calcolare l'area del rombo in funzione di r.
N.B. Chi si azzarda a risolvere il problema con le incognite sarà sospeso dal Forum da giorni 15 ad anni 15, a seconda del numero delle incognite introdotte !

[@melia]

"ciromario":Angoli disegnati con lo stesso colore sono congruenti. Poi con opportune similitudini...

Allora avrei potuto postare anche la mia soluzione, solo che fatico un po' se non dò il nome ad un segmento, avevo chiamato $AH=x$ e poi lavorato con le similitudini.

[giammaria2]

Io ho lavorato con pochi triangoli; verso la fine però ho implicitamente usato un'incognita (la camuffo con un ragionamento un po' contorto; sarebbe più lineare usandola esplicitamente).

La retta OE congiunge i centri e quindi è perpendicolare alla corda comune AB e la dimezza.
Detta F l'intersezione di HD con la circonferenza più piccola, i triangoli ABF e AME sono uguali perché rettangoli, con $A hatBF=A hat EM$ (i loro lati sono mutuamente perpendicolari) e $BF=AE=2r$, quindi
$AF=AM=1/2AB$
e perciò i vari triangolo rettangoli hanno i cateti uno doppio dell'altro.
Come conseguenza del primo teorema di Euclide ho allora
$BH:HF=AB^2:AF^2=4:1->(BH+HF):HF=(4+1):1->2r:HF=5:1$
e quindi $HF=(2r)/5$ e $BH=(8r)/5$
Per il secondo teorema di Euclide $AH=sqrt(HF*BH)=(4r)/5$
e quindi l'area del rombo è
$4*S(AHB)=4*1/2AH*HB=2*(4r)/5*(8r)/5=(64r^2)/25$

Edit: per rilancio, il ragionamento è in tutto simile.

I triangoli ABF ed AEM non sono più uguali ma simili e si ottiene $AB=kAF$; con calcoli in tutto analoghi ai precedenti, l'area del rombo risulta $(8k^3r^2)/(k^2+1)^2=(8kR^2)/(k^2+1)^2$, essendo $R=kr$ il raggio della circonferenza circoscritta ad ABD.