Rombo...di tuono !

[Sk_Anonymous]

Si consideri il rombo ABCD ( con AC triangolo ABC, e la circonferenza di centro E, circoscritta al triangolo BAD.
Sapendo che $OB=r, EA=2r$, calcolare l'area del rombo in funzione di r.
N.B. Chi si azzarda a risolvere il problema con le incognite sarà sospeso dal Forum da giorni 15 ad anni 15, a seconda del numero delle incognite introdotte !

[theras]

E se vengo accompagnato da Bonimba(nelle cui rovesciate,ovviamente,credo..),mi fai riammettere ?
Gustoso come al solito il problema,ad occhio e croce
(anche se mi son piaciuti più quelli sui luoghi geometrici,
ma forse solo perchè ultimamente stò apprezzando molto il Geogebra..):
nel caso,non ci fossero rispooste,più in là posto qualcosa
(sperando che ti piaccia,altrimenti la vedo dura a far intervenire Scopigno per dirimere la questione )!
Saluti dal web.

[Sk_Anonymous]

Ultimamente ( ed anche ...prima ! ) sono caduto in disgrazia presso i curatori del forum e quindi non ho potere alcuno... Ma chi è "stò" Scopigno ?

[theras]

Il Mister del Cagliari di Riva e Boninsegna,ovvio!!
Pare non avesse crisi d'identità,lui ,perennamente accigliato(sono in vena d'eufemismi )per com'era:
a te invece che ti prende,di tanto in tanto?
Saluti dal web.
P.S.
Si và OT,ed a breve ci richiameranno e forse interromperanno;
ma ti sarei grato se,nel frattempo,mi dessi modo di comprendere le ragioni di questa tua,periodica,
necessità di costringere i moderatori a privare per un pò questo Forum della risorsa da te rappresentata:
qualcosa che vada al di là della semplice voglia di farsi cambiare nick,però ..

[Zero87]

"theras":Si và OT,ed a breve ci richiameranno e forse interromperanno;
ma ti sarei grato se,nel frattempo,mi dessi modo di comprendere le ragioni di questa tua,periodica,
necessità di costringere i moderatori a privare per un pò questo Forum della risorsa da te rappresentata:
qualcosa che vada al di là della semplice voglia di farsi cambiare nick,però ..

Mi accodo all'OT condividendo anche l'osservazione successiva di theras...

Intanto mi scervello qui (poi magari edito: mi è salita l'autostima da quando ho risposto alla domanda sul calcolo polinomiale).

EDIT
La mia soluzione è senza incognite, ma mooolto lunga e laboriosa, quindi non la vedo giusta dato che ho visto che in genere i problemi che proponi hanno un processo risolutivo di poche parole (il ché non vuol dire che siano facili, anzi...!)

Inoltre è sbagliata perché l'area mi viene in funzione di $r$ e non di $r^2$ come potrei aspettarmi...

Calma e gesso, come direbbero i giocatori di biliardo.

1.
Da relazioni a te conosciute sui triangoli inscritti ad una circonferenza abbiamo
a. $2r = \frac{AB^2 BD}{4S}$
b. $r=\frac{AB^2 AC}{2S}$
In esse $S$ è l'area del triangolo e quindi mezza area dell rombo.

2.
Da queste otteniamo subito (moltiplicando la seconda per 2 e eguagliando i $2r$)
$\frac{AB^2 BD}{4S}=\frac{AB^2 AC}{S}$
$BD=4AC$.
E me la tengo: per esempio, l'area del rombo è $1/2 (4AC\cdot AC)= 2AC^2$ tanto per fare un esempio.

3.
D'altra parte, l'area del triangolo $ABC$ [j18eos sapeva fare i simboli di angolo e triangolo sopra le lettere, io no, però mi spiego a parole ] è
$1/2 AB\cdot BC sin(ABC) = 1/2 AB^2 sin(ABC)$.
Sembra inutile spiegare che il rombo ha tutti i lati uguali...
L'area dell rombo è il doppio di quella del triangolo, dunque è $2S = AB^2 sin(ABC)$.

4.
Prendo la a. del punto 1 e aggiungo quanto appena detto
$2r = \frac{AB^2 BD}{4S}= \frac{AB^2 BD}{2 AB^2 sin(ABC)}= \frac{BD}{2sin(ABC)}$
cioè
$r= \frac{BD}{4sin(ABC)}$
Ma a questo punto, sappiamo anche che
$sin(ABC)= \frac{AC}{2}/BC = \frac{AC}{2BC}$
da cui (ricordando anche che nella 2. $BD=4AC$
$r= \frac{BD}{4sin(ABC)}= \frac{4AC}{4sin(ABC)}= \frac{4AC\cdot 2BC}{4AC}=2BC$
ovvero $BC=r/2$.
Me lo tengo anche questo.

5
Nella a. del punto 1 ottengo (tenendo a mente che $BC=AB$)
$2r = \frac{AB^2 BD}{4S}= r/2 \cdot r/2 \cdot 4AC \cdot \frac{1}{2AC^2}=\frac{r^2}{2AC^2}$
da cui
$2= \frac{r}{2AC^2}$
cioè
$4AC^2=r$
da cui $AC= \sqrt(r)/2$

...

A questo punto l'area del rombo (dal punto 2) è $2AC^2$ e quindi $r/2$.

Risultato sbagliato (secondo me!).

[Sk_Anonymous]

[ot]Non ti preoccupare: son cose vecchie. Al punto che a ricordarle mi viene da ridere... [/ot]

[Andrea571]

"Zero87":

1.
Da relazioni a te conosciute sui triangoli inscritti ad una circonferenza abbiamo
a. $2r = \frac{AB^2 BD}{4S}$
b. $r=\frac{AB^2 AC}{2S}$
In esse $S$ è l'area del triangolo e quindi mezza area dell rombo.

Forse erro, ma $S$ in questo caso, non è una incognita?

[Zero87]

"Andrea57":Forse erro, ma $S$ in questo caso, non è una incognita?

Sì, ma non sono andato avanti portandomi la $S$ dietro: ho solo richiamato 2 formule (nel passaggio 2, poi, la $S$ si semplifica).
Comunque le soluzioni personali sono spoilerizzate apposta per fare in modo che chi vuole provare autonomamente non venga distratto da soluzioni altrui (la mia non la vedo corretta per vari motivi... però ci ho provato!).

[Andrea571]

"Zero87":[quote="Andrea57"]Forse erro, ma $S$ in questo caso, non è una incognita?

Sì, ma non sono andato avanti portandomi la $S$ dietro: ho solo richiamato 2 formule (nel passaggio 2, poi, la $S$ si semplifica).
Comunque le soluzioni personali sono spoilerizzate apposta per fare in modo che chi vuole provare autonomamente non venga distratto da soluzioni altrui (la mia non la vedo corretta per vari motivi... però ci ho provato!). [/quote]

ah, perdonami

Io credo di esserci quasi, sperando che qualcuno non mi superi

[size=150]P.S.[/size]

Credo di esserci riuscito: se gentilmente Ciromario mi dice se questo risultato è giusto, posterò la dimostrazione

$(3r^2*sqrt(3)/2)$

[milizia96]

Ehm, credo sia sbagliato...
Se volete io ho un procedimento sintetico (con cui mi esce un risultato diverso) ma magari aspetto un po' prima di postarlo per lasciare spazio a qualcun altro.

[Andrea571]

"milizia96":Ehm, credo sia sbagliato...
Se volete io ho un procedimento sintetico (con cui mi esce un risultato diverso) ma magari aspetto un po' prima di postarlo per lasciare spazio a qualcun altro.

Ho letto il tuo commento, e così sono andato a verificare con geogebra/wolfram alpha: ho ottenuto un margine di errore di $0.003$, quindi "credo" che la mia sia giusta

[size=150]P.S.[/size]

Qui di seguito come ho sviluppato:

$O$ è il punto di incontro degli assi del triangolo, in quanto inscritto in un cerchio: ma $OB=r$, quindi, per definizione, $AO=BO=CO$: questo vuol dire che il triangolo è equilatero ed equiangolo.
Prendiamo in considerazione ora il triangolo $AOC$: poiché il triangolo è regolare,$O$ divide l'altezza in esattamente due parti: questo vuol dire che l'angolo in $O$ raddoppia rispetto a quello in $B$ (vale quindi $120°$)
Ora, del triangolo $AOC$ conosco due lati (entrambi $r$) e l'angolo compreso, $120°$, e tramite le formule goniometriche otteniamo l'ultimo lato:

$(AC)^2=(AO)^2+(CO)^2-(2AO*CO*cos(120°))$

Da cui deriva $AC=r*sqrt(3)$

Prendo ora in considerazione il triangolo $BHC$,con $H$ punto medio di $AC$ (praticamente, prendiamo in considerazione $1/4$ del triangolo: conoscendo $HC=r*sqrt(3)/2$ e tutti gli angoli \(\displaystyle (30°, 90°, 60°) \) sempre tramite formule goniometriche calcoliamo l'altezza del triangolo:
$BH=HC*tg(60°)$, da cui $BH=3/2r$, da cui ancora $BD=3r$
Conosciamo entrambe le diagonali: l'area del rombo, in funzione di $r$, è:
$3r*r*sqrt(3)*1/2$, ovvero: $3r^2*sqrt(3)/2$

[@melia]

Non è vero che se $OA=OB=OC$ allora il triangolo è equilatero, altrimenti un triangolo sarebbe inscrivibile solo quando è equilatero, invece tutti i triangoli sono inscrivibili e per tutti vale, ovviamente, $OA=OB=OC$ se O è il centro della circonferenza circoscritta.

Ho trovato la superficie del rombo che mi viene $64/25r^2$, ma ... ... ho usato un'incognita, quindi la mia soluzione non vale.

[Andrea571]

"@melia":Non è vero che se $OA=OB=OC$ allora il triangolo è equilatero, altrimenti un triangolo sarebbe inscrivibile solo quando è equilatero, invece tutti i triangoli sono inscrivibili e per tutti vale, ovviamente, $OA=OB=OC$ se O è il centro della circonferenza circoscritta.

Ho trovato la superficie del rombo che mi viene $64/25r^2$, ma ... ... ho usato un'incognita, quindi la mia soluzione non vale.

giusto, hai ragione , ma se rileggi la mia dimostrazione, prima di dire ció ho premesso \(\displaystyle BO=r \); e poichè \(\displaystyle O \) e il punto di incontro degli assi, e \(\displaystyle BO=r \), allora necessariamente \(\displaystyle BO=AO=CO \).

P.S.
il fatto di equilatero, in tutti i casi, non intacca la dimostrazione, in quanto l'ho solo pronunciata, e non utilizzata successivamente!

[milizia96]

Confermo il risultato di @melia.
Io nella mia soluzione calcolo l'area in funzione della diagonale minore del rombo, che poi esprimo in funzione del raggio. E' valido?

[@melia]

"Andrea57":il fatto di equilatero, in tutti i casi, non intacca la dimostrazione, in quanto l'ho solo pronunciata, e non utilizzata successivamente!

Lo hai usato implicitamente supponendo che l'angolo ib B fosse di 60 gradi.

[Andrea571]

Attendo Ciromario per conferma risultato, questo problema mi sta incuriosendo parecchio

[Rigel1]

Una volta tanto mi cimento anche io in un problema geometrico.
A me viene come @melia; detta \(H\) l'intersezione fra il segmento \(OD\) e la circonferenza, mi sembra sia sufficiente osservare che valgono le seguenti uguaglianze fra angoli per riuscire a concludere: \(OBE = OCA\) e \(ABO = ACH\).

[Sk_Anonymous]

Il risultato suggerito da amelia è quello giusto. Resto tuttavia in attesa della dimostrazione sintetica...

@Andrea57
Lavori troppo di fantasia !

[Andrea571]

"ciromario":

Il risultato suggerito da amelia è quello giusto. Resto tuttavia in attesa della dimostrazione sintetica...

@Andrea57
Lavori troppo di fantasia !

Usando geogebra, avevo addirittura creato la formula di quest'area:
$2(int_(-0.87)^0(1.73x+1)+int_0^(0.87)(-1.73x+1)+int_(0.87)^(-0.87)(-0.5))$
prendendo $r=1$, bastava sottrarre a questa formula $3*sqrt(3)/2$, da cui un errore di $0.003$... se invece sottraggo $64/25$, l'errore è di $0.04$, ovvero più grande, e questo mi ha portato a dire che la mia fosse più "accurata"
Attendo che qualcuno posti la dimostrazione.

[Sk_Anonymous]

Angoli disegnati con lo stesso colore sono congruenti. Poi con opportune similitudini...

[milizia96]

Generalizzazione:
Si ha un rombo ABCD.
Sapendo che il raggio della circonferenza ABD è lunga $k>0$ volte il raggio della circonferenza ABC, calcolare l'area del rombo in funzione del raggio della circonferenza ABD.
(il problema di ciromario corrisponde al caso particolare $k=2$)